Interpolation d'Hermite

thumb|Comparaison graphique entre interpolation lagrangienne (en rouge) et hermitienne (en bleu) de la fonction (en noir) en trois points équidistants -1, 1/2, 2. En analyse numérique, l'interpolation d'Hermite, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est une extension de l'interpolation de Lagrange, qui consiste, pour une fonction dérivable donnée et un nombre fini de points donnés, à construire un polynôme qui est à la fois interpolateur (c'est-à-dire dont les valeurs aux points donnés coïncident avec celles de la fonction) et osculateur (c'est-à-dire dont les valeurs de la dérivée aux points donnés coïncident avec celles de la dérivée de la fonction). Cette méthode d'interpolation permet d'éviter les phénomènes de Runge dans l'interpolation numérique ou, plus simplement, de manipuler des polynômes ayant des propriétés proches de celles de la fonction interpolée. Soit f une fonction de classe C d'une variable définie sur un segment [a, b] et à valeurs réelles et soient n + 1 points (x_0, x_1, ... , x_n) de [a, b] distincts deux à deux. L'objectif est de construire un polynôme P de degré minimal tel que : Puisque l'on impose 2n + 2 valeurs pour déterminer le polynôme P, celui-ci sera donc de degré au plus 2n + 1. Une méthode de construction de P consiste à prendre les carrés des polynômes de Lagrange associés aux points x_0, x_1, ... , x_n : de degré 2n et vérifiant : Un polynôme P de la forme satisfait donc les 2n + 2 conditions si et seulement si les polynômes P vérifient : ce qui équivaut à : La solution la plus simple est de choisir et P est alors de degré au plus 2n + 1. L'unicité du polynôme interpolateur d'Hermite se montre de façon similaire à celle du polynôme interpolateur de Lagrange : soient deux polynômes P et R vérifiant les hypothèses voulues. On a donc deux polynômes de degré au plus 2n + 1 dont les valeurs et les dérivées coïncident en n + 1 points. Ainsi, P – R est divisible par (X – x_0)(X – x_1)...(X – x_n) qui est un polynôme de degré 2n + 2. Puisque P – R est de degré au plus 2n + 1, il est forcément nul.