Équation de Poisson

En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre suivante : où est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée. Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique. Ce problème est important en pratique : En électrostatique, la formulation classique (voir Équation de Poisson-Boltzmann) exprime le potentiel électrique associé à une distribution connue de charges par la relation En gravitation universelle, le potentiel gravitationnel est relié à la masse volumique par la relation En mécanique des fluides, pour des écoulements incompressibles, la pression est reliée au champ de vitesse par une équation de Poisson. Par exemple, en 2D, en notant les composantes du champ de vitesse , la relation s'écrit : où représente la masse volumique du fluide. L'équation de Poisson étant insensible à l’ajout sur d’une fonction satisfaisant l’équation de Laplace (ou une simple fonction linéaire par exemple), une condition aux limites est nécessaire pour espérer l'unicité de la solution : par exemple les conditions de Dirichlet, celles de Neumann, ou des conditions mixtes sur des portions de frontière. En coordonnées cartésiennes dans , considérons un ouvert , une fonction continue sur et une fonction continue sur la frontière . Le problème consiste à trouver une fonction de deux variables réelles définie sur qui vérifie les deux relations : sur et sur Cette formulation est un modèle mathématique du problème statique d’une membrane élastique tendue et chargée (une peau de tambour) : est la densité de charge (exprimée par exemple en Pa, ceci à un multiple près caractérisant les propriétés d’élasticité de la membrane) ; est la cote (élévation verticale) le long de la frontière de fixation de la membrane ; la solution indique la cote de la membrane dans .