Fonction de Green

En mathématiques et en physique, une fonction de Green est une solution (également appelée solution élémentaire ou solution fondamentale) d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants, ou d'une équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants. Ces « fonctions » de Green, qui se trouvent être le plus souvent des distributions, ont été introduites par George Green en 1828 pour les besoins de l'électromagnétisme. Le mémoire de Green restera confidentiel jusqu'à sa republication en trois parties, à partir de 1850. Les fonctions de Green, qui seront dénommées ainsi par Riemann en 1869, seront alors abondamment utilisées, notamment par Neumann en 1877 pour sa théorie du potentiel Newtonien dans un espace à deux dimensions, puis en 1882 par Kirchhoff pour l'équation de propagation des ondes dans un espace à trois dimensions, et enfin par Helmholtz en acoustique. Elles sont devenues un outil essentiel en théorie quantique des champs après que Feynman les a popularisées en 1948 sous le nom de propagateur dans sa formulation en intégrale de chemin de l'électrodynamique quantique. Soit x = (x, ..., x) un point de , et un opérateur différentiel linéaire. On cherche la solution φ(x) de l'équation aux dérivées partielles linéaire : où est une fonction donnée, appelée source du champ φ(x) inconnu. On note δ la distribution de Dirac. Cette distribution vérifie la propriété fondamentale que, pour toute fonction lisse : On appelle fonction de Green toute solution G de l'équation aux dérivées partielles linéaire : Dans le cas où l'opérateur différentiel est à coefficients constants, l'existence est garantie par le théorème de Malgrange-Ehrenpreis. Dans le cas où les coefficients ne sont plus constants, il peut ne pas exister de fonction de Green, même pour des coefficients polynomiaux, voir l'exemple de Lewy. En ce qui concerne l'unicité, il existe en général plusieurs fonctions de Green associées à la même équation. Ces fonctions diffèrent entre elles par leurs conditions aux limites.