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Séance de cours

Fonctions Méromorphes & Différentiels

Dans cours

MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de fonctions et de différentiels méromorphes, en discutant de leurs pôles, de leurs résidus et de leurs ordres. Il explore également la construction des diviseurs et le théorème de Riemann-Roch dans le contexte des surfaces Riemann complexes.

Enseignant·e

Maryna Viazovska

Maryna Viazovska did her bachelor studies at the Kyiv National Taras ShevchenkoUniversity and completed her MSc at the Technical University Kaiserslautern.She obtained her PhD in 2013 in Bonn.She was a postdoctoral researcher at the Institut des Hautes Etudes Scientifiquesand at the Humboldt University of Berlin, and in 2017 was a Minerva DistinguishedVisitor at Princeton University. She joined EPFL in 2017 as Tenure-Track AssistantProfessor and was promoted Full Professor in 2018.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse complexe

Géométrie: Géométrie algébrique

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Surface de Riemann

En géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui accompagnent certains prolongements analytiques de fonctions holomorphes. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété différentielle réelle de dimension 2, d'où le nom surface. Elles ont été nommées en hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann.

Résidu (analyse complexe)

En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus. Le terme résidu vient de Cauchy dans ses Exercices de mathématiques publié en 1826. Soit un ouvert de , un ensemble dans D de points isolés et une fonction holomorphe.

Pôle (mathématiques)

thumb|Représentation de la fonction avec deux pôles d'ordre 1, en z = et z = -. En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul. Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe. Soient U un ouvert du plan complexe C, a un élément de U et une fonction holomorphe.

Variété complexe

Les variétés complexes ou plus généralement les sont les objets d'étude de la géométrie analytique complexe. Une variété complexe de dimension n est un espace topologique obtenu par recollement d'ouverts de Cn selon des biholomorphismes, c'est-à-dire des bijections holomorphes. Plus précisément, une variété complexe de dimension n est un espace topologique dénombrable à l'infini (c'est-à-dire localement compact et σ-compact) possédant un atlas de cartes sur Cn, tel que les applications de changement de cartes soient des biholomorphismes.

Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

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Séances de cours associées (30)

Formes harmoniques : théorème principal

Explore les formes harmoniques sur les surfaces de Riemann et l'unicité des solutions aux équations harmoniques.

Intégration de formes différentielles

Couvre l'intégration de formes différentielles sur des variétés lisses, y compris les concepts de formes fermées et exactes.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

Homéomorphismes locaux et couvertures

Couvre les concepts d'homéomorphismes locaux et de couvertures en multiples, en mettant l'accent sur les conditions dans lesquelles une carte est considérée comme un homéomorphisme local ou une couverture.

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Concepts associés (32)

Surface de Riemann

Résidu (analyse complexe)

Pôle (mathématiques)

Variété complexe

Fonction elliptique de Jacobi

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