Kurtosis

En théorie des probabilités et en statistique, le kurtosis (du nom féminin grec ancien κύρτωσις, « courbure »), aussi traduit par coefficient d’acuité, coefficient d’aplatissement et degré de voussure, est une mesure directe de l’acuité et une mesure indirecte de l'aplatissement de la distribution d’une variable aléatoire réelle. Il existe plusieurs mesures de l'acuité et le kurtosis correspond à la méthode de Pearson. C’est le deuxième des paramètres de forme, avec le coefficient d'asymétrie (les paramètres fondés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom propre). Il mesure, abstraction faite de la dispersion (donnée par l’écart type), la répartition des masses de probabilité autour de leur centre, donné par l’espérance mathématique, c’est-à-dire, d’une certaine façon, leur concentration à proximité ou à distance du centre de probabilité. Étant donné une variable aléatoire réelle d’espérance et d’écart type , on définit son kurtosis non normalisé comme le moment d’ordre quatre de la variable centrée réduite : lorsque cette espérance existe. On a donc : avec les moments centrés d’ordre . Le kurtosis non normalisé étant défini en fonction de moments centrés, il est malaisé à manipuler lorsqu’il s’agit de calculer celui de la somme de variables indépendantes. On définit ainsi le kurtosis normalisé en fonction de cumulants : Sachant que et , on a alors: Les moments centrés et cumulants ayant pour dimension celle de la variable élevée à la puissance , les kurtosis et sont des grandeurs adimensionnelles. Soit la variable aléatoire réelle . Cette variable aléatoire a pour espérance et pour variance . Sachant que , on en déduit alors que : Cette limite inférieure n’est atteinte que dans le cas où (à transformation affine près) la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre (un seul tirage à pile ou face avec une pièce parfaitement équilibrée). Pour la loi normale, on a . Le kurtosis n’a pas de limite supérieure.