Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynomiale ; d'un reste négligeable au voisinage du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I, et x ∈ I. On dit que f admet un développement limité d'ordre n (abrégé par DL) en x, s'il existe n + 1 réels a, a, ..., a tels que la fonction définie par : vérifie : R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que : Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o((x – x)) (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc : Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = x + h : Conséquences immédiates Si f admet un DL en x, alors a = f (x). Si f admet un DL en x, alors elle admet un DL en x pour tout entier k < n. Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette un DL en x est l'existence d'un polynôme P tel que f(x) = P(x) + o((x – x)). S'il existe un tel polynôme P, alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à n : le reste de la division euclidienne de P(X) par (X – x). On l'appelle la partie régulière, ou partie principale, du DL de f en x.