Dimension de Hausdorff

En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L'exemple le plus simple est l'espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension n muni d'une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l'espace vectoriel. Cependant la dimension de Hausdorff d'un espace métrique quelconque peut ne pas être un entier naturel. Dans un espace euclidien de dimension d, une boule de rayon r a un volume proportionnel à . Intuitivement, on s'attend donc à ce que le nombre de boules de rayon r nécessaires pour recouvrir une boule de rayon unité soit de l'ordre de . On généralise cette notion à un espace métrique compact X quelconque de la façon suivante. Posons le nombre minimal de boules ouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir X. Si, lorsque r tend vers 0, croît comme , l'espace X est dit de dimension d. Plus précisément, d est le nombre réel tel que lorsque r tend vers 0, tend vers 0 pour tout réel , et vers pour tout réel . Malheureusement, les limites des quantités N(r)r introduites dans le paragraphe précédent n'existent pas toujours. On peut contourner cette difficulté en procédant de la façon suivante : On recouvre l'espace X au moyen d'une réunion dénombrable de parties notées A, chacune étant de diamètre inférieur à r. Le fait d'utiliser une majoration du diamètre permet de prendre des parties arbitrairement petites, par exemple s'il s'agit de recouvrir une partie dénombrable de X, et de minimiser ainsi le rôle d'une telle partie dans le calcul de la dimension de X. Pour tout s réel positif ou nul, on considère la quantité .