Théorème de Lebesgue-Vitali

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, le théorème de Lebesgue-Vitali (ou théorème de convergence de Vitali) est un théorème qui donne une condition nécessaire et suffisante pour passer d'une convergence en mesure vers une convergence dans les espaces pour des fonctions mesurables. Il est une généralisation du théorème de convergence dominée. Initialement, le théorème a été énoncé pour des mesures finies mais ce dernier peut se généraliser à des mesures quelconques sous couvert de rajouter une hypothèse de type tension sur la suite de fonctions. Soit un espace mesuré. Soit une famille de fonctions intégrables définies sur à valeurs dans . On dit que la famille : est uniformément intégrable si . a des intégrales uniformément absolument continues si . est tendue si . bornée dans si . La définition donnée ici d'intégrales uniformément absolument continues est quelquefois utilisée comme définition d'intégrabilité uniforme par certains auteurs. Il faut donc faire attention, la définition d'intégrabilité uniforme choisie ici correspond à celle habituellement utilisée en théorie des probabilités. Si est une mesure finie, alors est uniformément intégrable si et seulement si elle est bornée dans et a des intégrales uniformément absolument continues. Si est finie et n'a pas d'atomes, alors est uniformément intégrable si et seulement si elle a des intégrales uniformément absolument continues. Soit un espace mesuré, et des fonctions mesurables telles que les sont dans (on ne suppose rien d'autre pour ). Alors et dans si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées : La suite converge en mesure vers . La famille a des intégrales uniformément absolument continues. La famille est tendue. Dans le cas où est une mesure finie (c'est le cas par exemple si est une mesure de probabilités), alors la condition 3 est toujours vérifiée (avec ). De plus, dans ce cas, on peut montrer que les conditions 1 et 2 sont équivalentes aux conditions 1 et 2' où 2' correspond au fait que la famille est uniformément intégrable.