Orthogonalité

En géométrie classique, l'orthogonalité est une propriété liée à l'existence d'un angle droit (orthos = droit, gônia = angle). Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale aux droites du plan. On parle de vecteurs orthogonaux pour des vecteurs directeurs de droites orthogonales et de segments orthogonaux pour des segments portés par des droites orthogonales. Cette notion d'orthogonalité se généralise dans un premier temps à des espaces euclidiens, c'est-à-dire des espaces vectoriels de dimension finie sur lesquels on peut parler de distance et d'angle grâce à la définition d'un produit scalaire : dans les espaces euclidiens, deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Deux sous-ensembles d'un espace euclidien sont orthogonaux si tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre. L'orthogonalité peut intervenir dès qu'il existe une forme bilinéaire entre deux espaces vectoriels sur un même corps. L'orthogonalité est opératoire dans de nombreux domaines mathématiques ou physiques. Depuis la Grèce antique, l'angle droit est à la base de la démonstration de nombreux théorèmes, notamment le théorème de Pythagore. Les grands et petits axes d'une ellipse sont orthogonaux, source de multiples propriétés. En dimension finie, c'est, par exemple, un outil de classification des surfaces quadriques. En algèbre linéaire, elle est un concept très utilisé. De même, dans le cadre du théorème spectral. L'orthogonalité s'applique aussi si les nombres sous-jacents ne sont pas réels. L'usage des nombres complexes amène à une autre géométrie, dite hermitienne. En arithmétique, l'utilisation de l'orthogonalité sur les nombres entiers permet à Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) de trouver une démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Une première approche intuitive associe l'orthogonalité à l'angle droit.