FibréEn mathématiques, un espace fibré est, intuitivement, un espace topologique qui est localement le produit de deux espaces — appelés la base et la fibre — mais en général pas globalement. Par exemple, le ruban de Möbius est un fibré de base un cercle et de fibre un segment de droite : il ressemble localement au produit d'un cercle par un segment, mais pas globalement comme le cylindre Plus précisément, l'espace total du fibré est muni d'une projection continue sur la base, telle que la de chaque point soit homéomorphe à la fibre.
Fibré principalEn topologie, de manière informelle, un fibré principal sur un espace topologique X est un espace ressemblant localement à un produit de X par un groupe topologique. En particulier, un fibré principal est un espace fibré, mais c'est bien plus encore. Il est muni d'un groupe, le groupe structural, décrivant la manière dont les trivialisations locales se recollent entre elles. La théorie des fibrés principaux recouvre la théorie des fibrés vectoriels, de leurs orientations, de leurs structures riemanniennes, de leurs structures symplectiques, etc.
Fibré des repèresEn géométrie différentielle, un fibré des repères est un certain type de fibré principal qui correspond à un fibré vectoriel sur une variété différentielle. Les points du fibré des repères sont les repères linéaires des fibres du fibré vectoriel correspondant. L'exemple le plus commun de fibré des repères est le fibré des repères tangents correspondant au fibré tangent d'une variété différentielle.
Fibré associéEn géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un -fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire. Soient : un groupe de Lie ; une variété différentielle ; un -fibré principal sur ; l'action de groupe à droite de sur ; une action de groupe à gauche de sur une variété différentielle . Définition Le fibré associé à pour est le fibré où est défini par : où la relation d'équivalence est : Remarques Les fibres de sont de fibre type .
CohomologyIn mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.
Homologie des groupesEn algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note Z[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs Z. Soient alors M un Z[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par : De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par : où est une résolution injective de M.
Fibré vectorielEn topologie différentielle, un fibré vectoriel est une construction géométrique ayant une parenté avec le produit cartésien, mais apportant une structure globale plus riche. Elle fait intervenir un espace topologique appelé base et un espace vectoriel modèle appelé fibre modèle. À chaque point de la base est associée une fibre copie de la fibre modèle, l'ensemble formant un nouvel espace topologique : l'espace total du fibré. Celui-ci admet localement la structure d'un produit cartésien de la base par la fibre modèle, mais peut avoir une topologie globale plus compliquée.
Bundle mapIn mathematics, a bundle map (or bundle morphism) is a morphism in the of fiber bundles. There are two distinct, but closely related, notions of bundle map, depending on whether the fiber bundles in question have a common base space. There are also several variations on the basic theme, depending on precisely which category of fiber bundles is under consideration. In the first three sections, we will consider general fiber bundles in the . Then in the fourth section, some other examples will be given.
Cohomologie de De RhamEn mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif.
Cohomologie de ČechLa cohomologie de Čech est une théorie cohomologique, développée à l'origine par le mathématicien Eduard Čech en faisant jouer au nerf d'un recouvrement sur un espace topologique le rôle des simplexes en homologie simpliciale. On peut définir une cohomologie de Čech pour les faisceaux, ou plus généralement pour les objets d'un site, en particulier une catégorie de schémas munie de la topologie de Zariski.
Suite exacteEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant. Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec . Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
Lie algebra cohomologyIn mathematics, Lie algebra cohomology is a cohomology theory for Lie algebras. It was first introduced in 1929 by Élie Cartan to study the topology of Lie groups and homogeneous spaces by relating cohomological methods of Georges de Rham to properties of the Lie algebra. It was later extended by to coefficients in an arbitrary Lie module. If is a compact simply connected Lie group, then it is determined by its Lie algebra, so it should be possible to calculate its cohomology from the Lie algebra.
Circle bundleIn mathematics, a circle bundle is a fiber bundle where the fiber is the circle . Oriented circle bundles are also known as principal U(1)-bundles. In physics, circle bundles are the natural geometric setting for electromagnetism. A circle bundle is a special case of a sphere bundle. Circle bundles over surfaces are an important example of 3-manifolds. A more general class of 3-manifolds is Seifert fiber spaces, which may be viewed as a kind of "singular" circle bundle, or as a circle bundle over a two-dimensional orbifold.
Cohomologie étaleLa cohomologie étale est la théorie cohomologique des faisceaux associée à la topologie étale. Elle mime le comportement habituel de la cohomologie classique sur des objets mathématiques où celle-ci n'est pas envisageable, en particulier les schémas et les espaces analytiques. La cohomologie étale a été introduite pour les schémas par Alexander Grothendieck et Michael Artin dans SGA 4 et 41⁄2, avec l'objectif de réaliser une cohomologie de Weil et ainsi résoudre les conjectures de Weil, objectif partiellement rempli, plus tard complété par Pierre Deligne avec l'introduction de la cohomologie l-adique.
Suite de PuppeLa suite de Puppe — nommée d'après Dieter Puppe — est une construction mathématique en topologie algébrique, plus précisément en théorie de l'homotopie. Soient f : A → B une application continue entre deux CW-complexes et C(f) son cône. On a donc une suite : A → B → C(f). En appliquant à f le foncteur de suspension et en effectuant pour Sf : SA → SB la même construction, on obtient une autre suite : SA → SB → C(Sf).
Classe caractéristiqueUne classe caractéristique est un objet mathématique défini et étudié notamment en topologie algébrique et en K-théorie, afin de différencier les fibrés vectoriels. De telles classes sont aujourd'hui comprises comme des invariants cohomologiques. La notion de classe caractéristique répond à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de est une classe dans la cohomologie de la base qui vérifie la condition suivante, dite de compatibilité : pour toute application continue , on a où est le fibré vectoriel induit sur par .
Fibré en droitesEn mathématiques, un fibré en droites est une construction qui décrit une droite attachée en chaque point d'un espace. Par exemple, une courbe dans le plan possède une tangente en chaque point, et si la courbe est suffisamment lisse alors la tangente évolue de manière « continue » lorsqu'on se déplace sur la courbe. De manière plus formelle on peut définir un fibré en droites comme un fibré vectoriel de rang 1.
Suite spectraleEn algèbre homologique et en topologie algébrique, une suite spectrale est une suite de modules différentiels (En,dn) tels que En+1 = H(En) = Ker dn / dn est l'homologie de En. Elles permettent donc de calculer des groupes d'homologie par approximations successives. Elles ont été introduites par Jean Leray en 1946. Il y a plusieurs manières en pratique pour obtenir une telle suite. Historiquement, depuis 1950, les arguments des suites spectrales ont été un outil performant pour la recherche, notamment dans la théorie de l'homotopie.
Pullback bundleIn mathematics, a pullback bundle or induced bundle is the fiber bundle that is induced by a map of its base-space. Given a fiber bundle π : E → B and a continuous map f : B′ → B one can define a "pullback" of E by f as a bundle fE over B′. The fiber of fE over a point b′ in B′ is just the fiber of E over f(b′). Thus f*E is the disjoint union of all these fibers equipped with a suitable topology. Let π : E → B be a fiber bundle with abstract fiber F and let f : B′ → B be a continuous map.
Section d'un fibréEn topologie, une section d'un fibré sur un espace topologique est une fonction continue telle que pour tout point de . Toute section est injective. Une section est une généralisation de la notion de graphe d'une fonction. Le graphe d'une fonction g : X → Y peut être identifié à une fonction prenant ses valeurs dans le produit cartésien E = X×Y de X et Y: Une section est une caractérisation abstraite de ce qu'est un graphe. Soit π : E → X la projection sur le premier facteur du produit cartésien: π(x,y) = x.
