Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Déterminant (mathématiques)vignette|L'aire du parallélogramme est la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par les vecteurs correspondants aux côtés du parallélogramme. En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation.
Exponentielle d'une matriceEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie. Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe. Sauf indication contraire, X, Y désignent des matrices n × n complexes (à coefficients complexes).
Décomposition d'une matrice en éléments propresEn algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».
Analyse numériqueL’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes).
Numerical linear algebraNumerical linear algebra, sometimes called applied linear algebra, is the study of how matrix operations can be used to create computer algorithms which efficiently and accurately provide approximate answers to questions in continuous mathematics. It is a subfield of numerical analysis, and a type of linear algebra. Computers use floating-point arithmetic and cannot exactly represent irrational data, so when a computer algorithm is applied to a matrix of data, it can sometimes increase the difference between a number stored in the computer and the true number that it is an approximation of.
Décomposition en valeurs singulièresEn mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l'anglais singular value decomposition) d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie. Le théorème spectral énonce qu'une matrice normale peut être diagonalisée par une base orthonormée de vecteurs propres.
Numerical methods for ordinary differential equationsNumerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation.
Probabilistic numericsProbabilistic numerics is an active field of study at the intersection of applied mathematics, statistics, and machine learning centering on the concept of uncertainty in computation. In probabilistic numerics, tasks in numerical analysis such as finding numerical solutions for integration, linear algebra, optimization and simulation and differential equations are seen as problems of statistical, probabilistic, or Bayesian inference.
Sous-espace de KrylovEn algèbre linéaire, le sous-espace de Krylov d'ordre r associé à une matrice de taille et un vecteur b de dimension n est le sous-espace vectoriel linéaire engendré par les vecteurs images de b par les r premières puissances de A (à partir de ), c'est-à-dire Le concept porte le nom du mathématicien appliqué et ingénieur naval russe Alexei Krylov, qui a publié un article à ce sujet en 1931. Les vecteurs sont linéairement indépendants tant que , et . Ainsi, désigne la dimension maximale d'un sous-espace de Krylov.
Calcul numérique d'une intégraleEn analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). Ces techniques procèdent en trois phases distinctes : Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ; Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ; Sommation des résultats numériques ainsi obtenus.
Matrice de SylvesterEn algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes. Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée définie ainsi : la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de zéros la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ; les n – 2 lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ; la ligne n + 1 est formée des coefficients de q, suivis de zéros les m – 1 lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.
Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonctionUn algorithme de recherche d'un zéro d’une fonction est une méthode numérique ou un algorithme de recherche d’une valeur approchée d’un x vérifiant , pour une fonction donnée f. Ici, x est un nombre réel appelé zéro de f ou lorsque f est polynomiale, racine de f. Lorsque x est un vecteur, les algorithmes pour trouver x tel que sont généralement appelés « algorithmes de résolution numérique d'un système d'équations ». Ces algorithmes sont une généralisation des algorithmes de recherche d’un zéro d’une fonction et peuvent s’appliquer à des équations linéaires ou non linéaires.
Woodbury matrix identityIn mathematics (specifically linear algebra), the Woodbury matrix identity, named after Max A. Woodbury, says that the inverse of a rank-k correction of some matrix can be computed by doing a rank-k correction to the inverse of the original matrix. Alternative names for this formula are the matrix inversion lemma, Sherman–Morrison–Woodbury formula or just Woodbury formula. However, the identity appeared in several papers before the Woodbury report.
Analytic function of a matrixIn mathematics, every analytic function can be used for defining a matrix function that maps square matrices with complex entries to square matrices of the same size. This is used for defining the exponential of a matrix, which is involved in the closed-form solution of systems of linear differential equations. There are several techniques for lifting a real function to a square matrix function such that interesting properties are maintained. All of the following techniques yield the same matrix function, but the domains on which the function is defined may differ.
Norme matricielleEn mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices. Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes. Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel M(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre M(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.
Équationvignette|upright=1.2|Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité. vignette|upright=1.2|Un système dynamique correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certains cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée attracteur étrange. Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables.
Matrice antisymétriqueEn mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A = –A ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –ai,j Les matrices suivantes sont antisymétriques : Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier.
Matrix multiplication algorithmBecause matrix multiplication is such a central operation in many numerical algorithms, much work has been invested in making matrix multiplication algorithms efficient. Applications of matrix multiplication in computational problems are found in many fields including scientific computing and pattern recognition and in seemingly unrelated problems such as counting the paths through a graph. Many different algorithms have been designed for multiplying matrices on different types of hardware, including parallel and distributed systems, where the computational work is spread over multiple processors (perhaps over a network).
