Système axiomatiqueEn mathématiques, un système axiomatique est un ensemble d'axiomes dont certains ou tous les axiomes peuvent être utilisés logiquement pour dériver des théorèmes. Une théorie consiste en un système axiomatique et tous ses théorèmes dérivés. Un système axiomatique complet est un type particulier de système formel. Une théorie formelle signifie généralement un système axiomatique, par exemple formulé dans la théorie des modèles. Une démonstration formelle est une interprétation complète d'une démonstration mathématique dans un système formel.
Système formelUn système formel est une modélisation mathématique d'un langage en général spécialisé. Les éléments linguistiques, mots, phrases, discours, etc., sont représentés par des objets finis (entiers, suites, arbres ou graphes finis...). Le propre d'un système formel est que la correction au sens grammatical de ses éléments est vérifiable algorithmiquement, c'est-à-dire que ceux-ci forment un ensemble récursif.
Problème SATvignette|Une instance du Sudoku peut être transformée en une formule de logique propositionnelle à satisfaire. Une assignation des variables propositionnelles donne une grille complétée. En informatique théorique, le problème SAT ou problème de satisfaisabilité booléenne est le problème de décision, qui, étant donné une formule de logique propositionnelle, détermine s'il existe une assignation des variables propositionnelles qui rend la formule vraie. Ce problème est important en théorie de la complexité.
Système à la HilbertEn logique, les systèmes à la Hilbert servent à définir les déductions formelles en suivant un modèle proposé par David Hilbert au début du : un grand nombre daxiomes logiques exprimant les principales propriétés de la logique que l'on combine au moyen de quelques règles, notamment la règle de modus ponens, pour dériver de nouveaux théorèmes. Les systèmes à la Hilbert héritent du système défini par Gottlob Frege et constituent les premiers systèmes déductifs, avant l'apparition de la déduction naturelle ou du calcul des séquents, appelés parfois par opposition systèmes à la Gentzen.
Réécriture (informatique)En informatique théorique, la réécriture (ou récriture) est un modèle de calcul dans lequel il s’agit de transformer des objets syntaxiques (mots, termes, lambda-termes, programmes, preuves, graphes, etc.) en appliquant des règles bien précises. La réécriture est utilisée en informatique, en algèbre, en logique mathématique et en linguistique. La réécriture est utilisée en pratique pour la gestion des courriers électroniques (dans le logiciel sendmail, les entêtes de courrier sont manipulées par des systèmes de réécriture) ou la génération et l'optimisation de code dans les compilateurs.
Fonction booléennevignette|Arbre de décision binaire Une fonction booléenne est une fonction prenant en entrée une liste de bits et donnant en sortie un unique bit. Les fonctions booléennes sont très utilisées en informatique théorique, notamment en théorie de la complexité et en cryptologie (par exemple dans les boîtes-S et les chiffrements par flot -- fonction de filtrage ou de combinaison de registres à décalage à rétroaction linéaire). Une fonction booléenne est une fonction de dans où désigne le corps fini à 2 éléments.
Opération bit à bitEn logique, une opération bit à bit est un calcul manipulant les données directement au niveau des bits, selon une arithmétique booléenne. Elles sont utiles dès qu'il s'agit de manipuler les données à bas niveau : codages, couches basses du réseau (par exemple TCP/IP), cryptographie, où elles permettent également les opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Les opérations bit à bit courantes comprennent des opérations logiques bit par bit et des opérations de décalage des bits, vers la droite ou vers la gauche.
Règle de résolutionEn logique mathématique, la règle de résolution ou principe de résolution de Robinson est une règle d'inférence logique qui généralise le modus ponens. Cette règle est principalement utilisée dans les systèmes de preuve automatiques, elle est à la base du langage de programmation logique Prolog. La règle du modus ponens s'écrit et se lit : de p et de "p implique q", je déduis q. On peut réécrire l'implication "p implique q" comme "p est faux ou q est vraie". Ainsi, la règle du modus ponens s'écrit .
Logique ternaireLa logique ternaire, ou logique 3 états, est une branche du calcul des propositions qui étend l'algèbre de Boole, en considérant, en plus des états VRAI et FAUX, l'état INCONNU. Dans la logique ternaire de Stephen Cole Kleene, les tables de vérité des fonctions de base sont les suivantes : D'une certaine manière, ces propriétés correspondent à l'intuition : par exemple, si on ignore si A est vrai ou faux, son inverse est tout aussi incertain. Les autres fonctions logiques se déduisent de par leur définition, la distributivité continuant à s'appliquer.
Fonction OU exclusifLa fonction OU exclusif, souvent appelée XOR (eXclusive OR) ou disjonction exclusive, ou somme binaire en cryptographie où il est noté +, ou encore ⊻ en algèbre relationnelle, est un opérateur logique de l'algèbre de Boole. À deux opérandes, qui peuvent avoir chacun la valeur VRAI ou FAUX, il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont des valeurs distinctes. Cet opérateur est très utilisé en électronique, en informatique, et aussi en cryptographie du fait de ses propriétés intéressantes.
Abstract rewriting systemIn mathematical logic and theoretical computer science, an abstract rewriting system (also (abstract) reduction system or abstract rewrite system; abbreviated ARS) is a formalism that captures the quintessential notion and properties of rewriting systems. In its simplest form, an ARS is simply a set (of "objects") together with a binary relation, traditionally denoted with ; this definition can be further refined if we index (label) subsets of the binary relation.
Foundations of geometryFoundations of geometry is the study of geometries as axiomatic systems. There are several sets of axioms which give rise to Euclidean geometry or to non-Euclidean geometries. These are fundamental to the study and of historical importance, but there are a great many modern geometries that are not Euclidean which can be studied from this viewpoint. The term axiomatic geometry can be applied to any geometry that is developed from an axiom system, but is often used to mean Euclidean geometry studied from this point of view.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
Méthode scientifiqueLa méthode scientifique désigne l'ensemble des canons guidant ou devant guider le processus de production des connaissances scientifiques, qu'il s'agisse d'observations, d'expériences, de raisonnements, ou de calculs théoriques. Très souvent, le terme de « méthode » engage l'idée implicite de son unicité, tant auprès du grand public que de certains chercheurs, qui de surcroît la confondent parfois avec la seule méthode hypothético-déductive.
Confluence (informatique)vignette|Le nom « confluence » est le même que celui utilisé en géographie : deux cours d'eau se rejoignent. En mathématiques, ou en informatique, la confluence d'une relation binaire est définie comme la propriété suivante : Pour tous éléments tels que et , il existe un élément tel que et . La confluence est équivalente à la propriété de Church-Rosser. La confluence locale est une propriété plus faible que la confluence, utile pour les systèmes de réécriture. Elle est définie par : Pour tous éléments tels que et , il existe un élément tel que et .
Functional completenessIn logic, a functionally complete set of logical connectives or Boolean operators is one which can be used to express all possible truth tables by combining members of the set into a Boolean expression. A well-known complete set of connectives is { AND, NOT }. Each of the singleton sets { NAND } and { NOR } is functionally complete. However, the set { AND, OR } is incomplete, due to its inability to express NOT. A gate or set of gates which is functionally complete can also be called a universal gate / gates.
Règle d'inférenceDans un système logique, les régles d'inférence sont les règles qui fondent le processus de déduction, de dérivation ou de démonstration. L'application des règles sur les axiomes du système permet d'en démontrer les théorèmes. Une règle d'inférence est une fonction qui prend un -uplet de formules et rend une formule. Les formules arguments sont appelées « les prémisses » et la formule retournée est appelée la « conclusion ».
XOR cipherIn cryptography, the simple XOR cipher is a type of additive cipher, an encryption algorithm that operates according to the principles: A 0 = A, A A = 0, A B = B A, (A B) C = A (B C), (B A) A = B 0 = B, For example where denotes the exclusive disjunction (XOR) operation. This operation is sometimes called modulus 2 addition (or subtraction, which is identical). With this logic, a string of text can be encrypted by applying the bitwise XOR operator to every character using a given key.
Porte quantiqueEn informatique quantique, et plus précisément dans le modèle de de calcul, une porte quantique (ou porte logique quantique) est un circuit quantique élémentaire opérant sur un petit nombre de qubits. Les portes quantiques sont les briques de base des circuits quantiques, comme le sont les portes logiques classiques pour des circuits numériques classiques. Contrairement à de nombreuses portes logiques classiques, les portes logiques quantique sont « réversibles ».
XOR gateXOR gate (sometimes EOR, or EXOR and pronounced as Exclusive OR) is a digital logic gate that gives a true (1 or HIGH) output when the number of true inputs is odd. An XOR gate implements an exclusive or () from mathematical logic; that is, a true output results if one, and only one, of the inputs to the gate is true. If both inputs are false (0/LOW) or both are true, a false output results. XOR represents the inequality function, i.e., the output is true if the inputs are not alike otherwise the output is false.
