ErgodicityIn mathematics, ergodicity expresses the idea that a point of a moving system, either a dynamical system or a stochastic process, will eventually visit all parts of the space that the system moves in, in a uniform and random sense. This implies that the average behavior of the system can be deduced from the trajectory of a "typical" point. Equivalently, a sufficiently large collection of random samples from a process can represent the average statistical properties of the entire process.
Théorie ergodiquevignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Asymptotic analysisIn mathematical analysis, asymptotic analysis, also known as asymptotics, is a method of describing limiting behavior. As an illustration, suppose that we are interested in the properties of a function f (n) as n becomes very large. If f(n) = n2 + 3n, then as n becomes very large, the term 3n becomes insignificant compared to n2. The function f(n) is said to be "asymptotically equivalent to n2, as n → ∞". This is often written symbolically as f (n) ~ n2, which is read as "f(n) is asymptotic to n2".
Asymptotic theory (statistics)In statistics, asymptotic theory, or large sample theory, is a framework for assessing properties of estimators and statistical tests. Within this framework, it is often assumed that the sample size n may grow indefinitely; the properties of estimators and tests are then evaluated under the limit of n → ∞. In practice, a limit evaluation is considered to be approximately valid for large finite sample sizes too. Most statistical problems begin with a dataset of size n.
Limit setIn mathematics, especially in the study of dynamical systems, a limit set is the state a dynamical system reaches after an infinite amount of time has passed, by either going forward or backwards in time. Limit sets are important because they can be used to understand the long term behavior of a dynamical system. A system that has reached its limiting set is said to be at equilibrium.
Système dynamiqueEn mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Cycle limiteDans le domaine des systèmes dynamiques, un cycle limite, ou cycle-limite sur un plan ou une variété bidimensionnelle est une trajectoire fermée dans l'espace des phases, telle qu'au moins une autre trajectoire spirale à l'intérieur lorsque le temps tend vers . Ces comportements s'observent dans certains systèmes non linéaires. Si toutes les trajectoires voisines approchent le cycle limite lorsque t , on parle de cycle limite stable ou attractif. Si en revanche cela se produit lorsque t , on parle de cycle limite instable ou non attractif.
Limite (mathématiques)En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d’un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition. Si une telle limite existe dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est convergente (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions périodiques non constantes (telle la fonction sinus en +∞).
Méthode de Monte-CarloUne méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, est une méthode algorithmique visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur.
Théorème central limitethumb|upright=2|La loi normale, souvent appelée la « courbe en cloche ». Le théorème central limite (aussi appelé théorème limite central, théorème de la limite centrale ou théorème de la limite centrée) établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme qu'une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend (le plus souvent) vers une variable aléatoire gaussienne.
Asymptotic safety in quantum gravityAsymptotic safety (sometimes also referred to as nonperturbative renormalizability) is a concept in quantum field theory which aims at finding a consistent and predictive quantum theory of the gravitational field. Its key ingredient is a nontrivial fixed point of the theory's renormalization group flow which controls the behavior of the coupling constants in the ultraviolet (UV) regime and renders physical quantities safe from divergences.
Asymptotically optimal algorithmIn computer science, an algorithm is said to be asymptotically optimal if, roughly speaking, for large inputs it performs at worst a constant factor (independent of the input size) worse than the best possible algorithm. It is a term commonly encountered in computer science research as a result of widespread use of big-O notation. More formally, an algorithm is asymptotically optimal with respect to a particular resource if the problem has been proven to require Ω(f(n)) of that resource, and the algorithm has been proven to use only O(f(n)).
Développement asymptotiqueEn mathématiques, un développement asymptotique d'une fonction f donnée dans un voisinage fixé est une somme finie de fonctions de référence qui donne une bonne approximation du comportement de la fonction f dans le voisinage considéré. Le concept de développement asymptotique a été introduit par Poincaré à propos de l'étude du problème à N corps de la mécanique céleste par la théorie des perturbations. La somme étant finie, la question de la convergence ne se pose pas.
Philosophie analytiqueL'expression « philosophie analytique » désigne un mouvement philosophique qui se fonda dans un premier temps sur la nouvelle logique contemporaine, issue des travaux de Gottlob Frege et Bertrand Russell à la fin du et au début du , pour éclairer les grandes questions philosophiques. Sa démarche s'appuie sur une analyse logique du langage cherchant à mettre en évidence les erreurs de raisonnement que celui-ci peut induire et faisant ainsi de la « clarification logique des pensées » le but de la philosophie selon le mot de Ludwig Wittgenstein dans le célèbre Tractatus logico-philosophicus.
Limite supérieure et limite inférieurevignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu. En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Interval exchange transformationIn mathematics, an interval exchange transformation is a kind of dynamical system that generalises circle rotation. The phase space consists of the unit interval, and the transformation acts by cutting the interval into several subintervals, and then permuting these subintervals. They arise naturally in the study of polygonal billiards and in area-preserving flows. Let and let be a permutation on . Consider a vector of positive real numbers (the widths of the subintervals), satisfying Define a map called the interval exchange transformation associated with the pair as follows.
Limite (mathématiques élémentaires)La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en ou (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage. Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité.
Limite projectiveEn mathématiques, dans la formalisation du langage des catégories, la limite projective est une généralisation du produit. Cette notion est duale de celle de limite inductive. Soient un ensemble ordonné, une famille d'ensembles indexée par , et pour chaque couple tel que , une application . On suppose que ces applications vérifient les deux propriétés suivantes : Une telle structure est appelée système projectif d'ensembles.
Distance (mathématiques)En mathématiques, une distance est une application qui formalise l'idée intuitive de distance, c'est-à-dire la longueur qui sépare deux points. C'est par l'analyse des principales propriétés de la distance usuelle que Fréchet introduit la notion d'espace métrique, développée ensuite par Hausdorff. Elle introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres.
Système complexe adaptatifUn système complexe adaptatif ou système complexe auto-adaptatif est l'ensemble des cas particuliers d'un système complexe capable de s'adapter à son environnement par des expériences d'apprentissage. Le terme anglais complex adaptive systems (CAS) a été introduit par l'Institut interdisciplinaire de Santa Fe notamment par John H. Holland et Murray Gell-Mann. En 1962, Vero Copner Wynne-Edwards a observé la sélection de groupe à l’œuvre dans les communautés d’oiseaux sauvages.
