Méthode de Monte-CarloUne méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, est une méthode algorithmique visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur.
Diffusion de la matièreLa diffusion de la matière, ou diffusion chimique, désigne la tendance naturelle d'un système à rendre uniforme le potentiel chimique de chacune des espèces chimiques qu'il comporte. La diffusion chimique est un phénomène de transport irréversible qui tend à homogénéiser la composition du milieu. Dans le cas d'un mélange binaire et en l'absence des gradients de température et de pression, la diffusion se fait des régions de plus forte concentration vers les régions de concentration moindre.
Équation différentielle stochastiqueUne équation différentielle stochastique (EDS) est une généralisation de la notion d'équation différentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de diffusion. Elles permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.
Équation aux dérivées partiellesEn mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (parfois appelée équation différentielle partielle et abrégée en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire à une seule variable ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions.
Molecular diffusionMolecular diffusion, often simply called diffusion, is the thermal motion of all (liquid or gas) particles at temperatures above absolute zero. The rate of this movement is a function of temperature, viscosity of the fluid and the size (mass) of the particles. Diffusion explains the net flux of molecules from a region of higher concentration to one of lower concentration. Once the concentrations are equal the molecules continue to move, but since there is no concentration gradient the process of molecular diffusion has ceased and is instead governed by the process of self-diffusion, originating from the random motion of the molecules.
Amplitude de probabilitévignette|Une fonction d'onde pour un seul électron dans l'orbite atomique 5d d'un atome d'hydrogène . La forme montre les endroits où la densité de probabilité de l'électron est supérieure à une certaine valeur, celle-ci est calculée avec l'amplitude de probabilité. La teinte sur la surface colorée montre la phase complexe de la fonction d'onde. En mécanique quantique, une amplitude de probabilité est un nombre complexe utilisé pour décrire le comportement d'un système.
Stochastic partial differential equationStochastic partial differential equations (SPDEs) generalize partial differential equations via random force terms and coefficients, in the same way ordinary stochastic differential equations generalize ordinary differential equations. They have relevance to quantum field theory, statistical mechanics, and spatial modeling. One of the most studied SPDEs is the stochastic heat equation, which may formally be written as where is the Laplacian and denotes space-time white noise.
Équation différentielleEn mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle. On distingue généralement deux types d'équations différentielles : les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues recherchées ne dépendent que d'une seule variable ; les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.
Causal reasoningCausal reasoning is the process of identifying causality: the relationship between a cause and its effect. The study of causality extends from ancient philosophy to contemporary neuropsychology; assumptions about the nature of causality may be shown to be functions of a previous event preceding a later one. The first known protoscientific study of cause and effect occurred in Aristotle's Physics. Causal inference is an example of causal reasoning. Causal relationships may be understood as a transfer of force.
Équation différentielle ordinaireEn mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables.
Causalitévignette|Exemple classique de la chute d'un domino causé par la chute d'un autre. En science, en philosophie et dans le langage courant, la causalité désigne la relation de cause à effet. la cause, corrélat de l'effet, c'est . C'est ce qui produit l'effet ; la causalité est le . Autrement dit, la causalité est l'influence par laquelle un événement, un processus, un état ou un objet (une cause) contribue à la production d'un autre événement, processus, état ou objet (un effet) considéré comme sa conséquence.
Équation de LangevinLéquation de Langevin' (1908) est une équation stochastique pour le mouvement brownien. Dans l'approche théorique de Langevin, une grosse particule brownienne de masse m, supposée animée à l'instant t d'une vitesse , est soumise à deux forces bien distinctes : une force de frottement fluide du type , où k est une constante positive. Dans le cas d'une particule sphérique de rayon a, cette constante s'écrit explicitement : (loi de Stokes). une force complémentaire, notée , qui synthétise la résultante des chocs aléatoires des molécules de fluide environnantes.
Inférence causaleL'inférence causale est le processus par lequel on peut établir une relation de causalité entre un élément et ses effets. C'est un champ de recherche à la croisée des statistiques, de l'économétrie, de l'épidémiologie, de la méthodologie politique et de l'intelligence artificielle. En 1920, Sewall Wright développe la première path analysis. Cette analyse graphique des relations de causalité entre les variables constitue selon Judea Pearl un travail pionnier dans l'inférence causale.
Programme de HamiltonLe programme de Hamilton est un « plan d'attaque », proposé par Richard S. Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré. Cet article tente de décrire les raisons d'être de ce programme sans entrer dans les détails. Dans son article fondateur de 1982, Three-manifolds with positive Ricci curvature, Richard S. Hamilton introduit le flot de Ricci nommé d'après le mathématicien Gregorio Ricci-Curbastro.
Équation de diffusionLéquation de diffusion est une équation aux dérivées partielles. En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. neutrons, etc.) ou de quasi-particules comme les phonons dans un milieu causé par le mouvement aléatoire de chaque particule lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes devant leurs homologues microscopiques. Dans le cas contraire le problème est décrit par l'équation de Boltzmann.
Causal modelIn the philosophy of science, a causal model (or structural causal model) is a conceptual model that describes the causal mechanisms of a system. Several types of causal notation may be used in the development of a causal model. Causal models can improve study designs by providing clear rules for deciding which independent variables need to be included/controlled for. They can allow some questions to be answered from existing observational data without the need for an interventional study such as a randomized controlled trial.
Inférence bayésiennevignette|Illustration comparant les approches fréquentiste et bayésienne (Christophe Michel, 2018). L’inférence bayésienne est une méthode d'inférence statistique par laquelle on calcule les probabilités de diverses causes hypothétiques à partir de l'observation d'événements connus. Elle s'appuie principalement sur le théorème de Bayes. Le raisonnement bayésien construit, à partir d'observations, une probabilité de la cause d'un type d'événements.
Variable aléatoire à densitéEn théorie des probabilités, une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire réelle, scalaire ou vectorielle, pour laquelle la probabilité d'appartenance à un domaine se calcule à l'aide d'une intégrale sur ce domaine. La fonction à intégrer est alors appelée « fonction de densité » ou « densité de probabilité », égale (dans le cas réel) à la dérivée de la fonction de répartition. Les densités de probabilité sont les fonctions essentiellement positives et intégrables d'intégrale 1.
Opérateur d'évolutionEn mécanique quantique, l'opérateur d'évolution est l'opérateur qui transforme l'état quantique au temps en l'état quantique au temps résultant de l'évolution du système sous l'effet de l'opérateur hamiltonien. On considère un hamiltonien composé de deux termes : où la dépendance temporelle est contenue dans . Quand , le système est complètement connu par ses kets propres et ses valeurs propres : Cet opérateur est noté et on a la relation, qui donne l'état du système au temps à partir du temps initial : où représente le ket au temps représente le ket au temps Pour le bra, on a alors la relation suivante : L'opérateur a les propriétés suivantes : C'est un opérateur linéaire est un opérateur unitaire ().
Fonction d'ondethumb|300px|right|Illustration de la notion de fonction d'onde dans le cas d'un oscillateur harmonique. Le comportement en mécanique classique est représenté sur les images A et B et celui en mécanique quantique sur les figures C à H. Les parties réelles et imaginaires des fonctions d'onde sont représentées respectivement en bleu et en rouge. Les images C à F correspondent à des états stationnaires de l'énergie, tandis que les figures G et H correspondent à des états non stationnaires.
