Produit directLa plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques. Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante : Si et sont associatives, alors la loi est associative.
Produit direct (groupes)En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes. Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante : le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans .
Direct sumThe direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary kind of structure, the abelian group. The direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and . To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate-wise.
Direct sum of groupsIn mathematics, a group G is called the direct sum of two normal subgroups with trivial intersection if it is generated by the subgroups. In abstract algebra, this method of construction of groups can be generalized to direct sums of vector spaces, modules, and other structures; see the article direct sum of modules for more information. A group which can be expressed as a direct sum of non-trivial subgroups is called decomposable, and if a group cannot be expressed as such a direct sum then it is called indecomposable.
Produit semi-directEn théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes. Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée : (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ; (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ; la restriction à K de la surjection canonique est un isomorphisme entre et ; la surjection canonique se scinde par un morphisme tel que .
Produit d'anneauxEn algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit. Cette construction peut se faire de la manière suivante : si (Ai) est une famille d'anneaux, le produit cartésien Π Ai peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e. (ai) + (bi) = (ai + bi) (ai) · (bi) = (ai · bi) 1 = (1) À la place de Π1≤i≤k Ai nous pouvons aussi écrire A1 × A2 × ... × Ak. Un exemple est l'anneau Z/nZ des entiers modulo n.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Maximal subgroupIn mathematics, the term maximal subgroup is used to mean slightly different things in different areas of algebra. In group theory, a maximal subgroup H of a group G is a proper subgroup, such that no proper subgroup K contains H strictly. In other words, H is a maximal element of the partially ordered set of subgroups of G that are not equal to G. Maximal subgroups are of interest because of their direct connection with primitive permutation representations of G.
Groupe résolubleEn mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
Groupe finivignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.
Groupe diédralEn mathématiques, le groupe diédral d'ordre 2n, pour un nombre naturel non nul n, est un groupe qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Il est noté Dn par certains auteurs et D par d'autres. On utilisera ici la notation D. Le groupe D est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C ; le groupe D est le groupe de Klein à quatre éléments.
Somme directeEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories. Produit direct (groupes)#Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliensSomme directe interne de sous-groupes abéliens Soient F et F deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E.
Subgroup seriesIn mathematics, specifically group theory, a subgroup series of a group is a chain of subgroups: where is the trivial subgroup. Subgroup series can simplify the study of a group to the study of simpler subgroups and their relations, and several subgroup series can be invariantly defined and are important invariants of groups. A subgroup series is used in the subgroup method. Subgroup series are a special example of the use of filtrations in abstract algebra.
Anneau finiEn mathématiques, un anneau fini est un anneau qui a un nombre fini d'éléments. Chaque corps fini est un exemple d’anneau fini, et la partie additive de chaque anneau fini est un exemple de groupe fini et abélien, mais la notion même d’anneaux finis a une histoire plus récente. Comme les anneaux sont plus rigides que les groupes, la classification des anneaux finis est plus simple que celle des groupes finis.
Automorphism groupIn mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.
NombreUn nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.
