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$K3$ surfaces with maximal complex multiplication

2025

Résumé

Let X be a complex projective K3 surface having complex multiplication by a CM field E , and let T_{X} be its transcendental lattice. We say that X has maximal complex multiplication if \mathrm{End}{\mathrm{Hdg}}(T{X}) is the ring of integers of E .For which CM fields E does such a K3 surface exist? What are the possibilities for the transcendental lattices, Picard lattices of these surfaces? The aim of this paper is to study these questions and give some examples.

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K3 (géométrie)

En géométrie différentielle ou algébrique, les surfaces K3 sont les variétés de Calabi-Yau de plus petite dimension différentes des tores. Ce sont des variétés complexes de dimension complexe 2 compactes et kählériennes. Les surfaces K3 possèdent en outre la propriété d'être les seules variétés de Calabi-Yau distincte du 4-tore T d'un point de vue topologique ou différentiel. Cependant, en tant que variété complexe, il y a un nombre infini de surfaces K3 non isomorphes. On peut notamment les distinguer par le biais du .

Multiplication complexe

En mathématiques, une courbe elliptique est à multiplication complexe si l'anneau de ses endomorphismes est plus grand que celui des entiers (il existe une théorie plus générale de la multiplication complexe pour les variétés abéliennes de dimension supérieure). Cette notion est liée au douzième problème de Hilbert. Un exemple de courbe elliptique avec multiplication complexe est C/Z[i]θ où Z[i] est l'anneau des entiers de Gauss, et θ est n'importe quel nombre complexe différent de zéro.

List of complex and algebraic surfaces

This is a list of named algebraic surfaces, compact complex surfaces, and families thereof, sorted according to their Kodaira dimension following Enriques–Kodaira classification. Projective plane Cone (geometry) Cylinder Ellipsoid Hyperboloid Paraboloid Sphere Spheroid Cayley nodal cubic surface, a certain cubic surface with 4 nodes Cayley's ruled cubic surface Clebsch surface or Klein icosahedral surface Fermat cubic Monkey saddle Parabolic conoid Plücker's conoid Whitney umbrella Châtelet surfaces Dupin

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