ErgodicityIn mathematics, ergodicity expresses the idea that a point of a moving system, either a dynamical system or a stochastic process, will eventually visit all parts of the space that the system moves in, in a uniform and random sense. This implies that the average behavior of the system can be deduced from the trajectory of a "typical" point. Equivalently, a sufficiently large collection of random samples from a process can represent the average statistical properties of the entire process.
Théorie ergodiquevignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Chaîne de Markovvignette|Exemple élémentaire de chaîne de Markov, à deux états A et E. Les flèches indiquent les probabilités de transition d'un état à un autre. En mathématiques, une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret. Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov : l'information utile pour la prédiction du futur est entièrement contenue dans l'état présent du processus et n'est pas dépendante des états antérieurs (le système n'a pas de « mémoire »).
Matrice stochastiqueEn mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée (finie ou infinie) dont chaque élément est un réel positif et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en théorie des probabilités, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Une matrice est dite stochastique si toutes ses entrées sont positives (ou nulles) et si, pour tout , on a c'est-à-dire que la somme des coordonnées de chaque ligne vaut 1.
Subshift of finite typeIn mathematics, subshifts of finite type are used to model dynamical systems, and in particular are the objects of study in symbolic dynamics and ergodic theory. They also describe the set of all possible sequences executed by a finite state machine. The most widely studied shift spaces are the subshifts of finite type. Let V be a finite set of n symbols (alphabet). Let X denote the set V^\Z of all bi-infinite sequences of elements of V together with the shift operator T. We endow V with the discrete topology and X with the product topology.
Continuité uniformeEn topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
États des États-UnisLes États des États-Unis sont les subdivisions politiques et historiques les plus importantes des États-Unis d'Amérique. Ce pays est une république fédérale composée de cinquante États fédérés auxquels s'ajoutent le district de Columbia et plusieurs territoires. La souveraineté est exercée à la fois par le gouvernement fédéral et par chacun des cinquante gouvernements d'État. Un Américain est à la fois citoyen des États-Unis et citoyen de l'État où il est domicilié.
Bilan détailléLe principe du bilan détaillé d'un système cinétique comportant plusieurs chemins, chacun d'eux comportant plusieurs étapes successives indépendantes, stipule que l'équilibre thermodynamique global du système implique l'équilibre de chacune des étapes constitutives. Le principe voisin nommé principe de bilan semi-détaillé ou bilan complexe donne une condition suffisante pour assurer la stationnarité d'un tel système. Le principe de bilan détaillé a été utilisé une première fois par Ludwig Boltzmann en 1872 pour établir son théorème H.
Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
État de New YorkL'État de New York (en anglais : State of New York, ou simplement New York) est un État des États-Unis, quatrième plus peuplé du pays avec d'habitants en 2022. Il se trouve dans le nord-est du pays et a pour capitale la ville d'Albany, située dans le nord-est de l'État. Vers le nord et l'ouest, son territoire s'élargit et partage une longue frontière avec le Canada (provinces de l'Ontario et du Québec), dont une grande partie est constituée par les lacs Érié et Ontario.
TexasLe Texas (prononcé : ou ; en anglais : ; en espagnol : Texas ou Tejas ) est un État du Sud des États-Unis, le deuxième plus vaste du pays () après l'Alaska et deuxième plus peuplé après la Californie. Selon le décompte officiel du Bureau du recensement des États-Unis (2020), le Texas aurait . Sa capitale est Austin alors que Houston est sa plus grande ville et Dallas-Fort Worth son agglomération la plus peuplée. Les Texans sont à près de 80 % des citadins et presque la moitié d'entre eux vivent dans deux agglomérations : Dallas-Fort Worth ou Houston.
Uniform isomorphismIn the mathematical field of topology a uniform isomorphism or is a special isomorphism between uniform spaces that respects uniform properties. Uniform spaces with uniform maps form a . An isomorphism between uniform spaces is called a uniform isomorphism. A function between two uniform spaces and is called a uniform isomorphism if it satisfies the following properties is a bijection is uniformly continuous the inverse function is uniformly continuous In other words, a uniform isomorphism is a uniformly continuous bijection between uniform spaces whose inverse is also uniformly continuous.
CalifornieLa Californie (en anglais et en espagnol : California) est un État des États-Unis qui fait partie de la région de la Sun Belt dans l’Ouest américain. Avec selon le recensement officiel de 2020, la Californie est l'État le plus peuplé du pays. Il est situé sur la côte ouest et bordé au sud par le désert de Sonora, à l'est par le Grand Bassin des États-Unis et au nord par les monts Klamath. La façade océanique suit entièrement le relief des chaînes côtières du Pacifique au-delà desquelles s'étend la Vallée Centrale sur les contreforts de la Sierra Nevada.
PennsylvanieLa Pennsylvanie , officiellement le Commonwealth de Pennsylvanie (Pennsylvania et Commonwealth of Pennsylvania), est un État des États-Unis, bordé au nord-ouest par le lac Érié, au nord par l'État de New York, à l'est par le New Jersey, au sud par le Delaware, le Maryland et la Virginie-Occidentale et à l'ouest par l'Ohio. En 2019, sa population s'élève à . Avant sa colonisation, la région était habitée par les Lenapes (aussi connus sous le nom de Delawares), les Susquehannock, Iroquois, Ériés, Chaouanons, et d'autres tribus amérindiennes.
Espace uniformeEn mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire).
Hypothèse ergodiqueL'hypothèse ergodique, ou hypothèse d'ergodicité, est une hypothèse fondamentale de la physique statistique. Elle fut formulée initialement par Ludwig Boltzmann en 1871 pour les besoins de sa théorie cinétique des gaz. Elle s'appliquait alors aux systèmes composés d'un très grand nombre de particules, et affirmait qu'à l'équilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculée de manière statistique est égale à la moyenne d'un très grand nombre de mesures prises dans le temps.
Processus ergodiqueUn est un processus stochastique pour lequel les statistiques peuvent être approchées par l'étude d'une seule réalisation suffisamment longue. Le théorème ergodique affirme que, sous condition, converge vers une limite pour presque toutes les réalisations , mais ne garantit pas l'égalité des à l'espérance . Un signal peut être: stationnaire mais non ergodique : par exemple le signal constant pour chaque réalisation. ergodique mais non stationnaire : par exemple le signal .
OpportunityOpportunity (« Opportunité, Occasion » en anglais), alias MER-B (Mars Exploration Rover - B), est la deuxième astromobile de la mission Mars Exploration Rover de l'agence spatiale américaine, la NASA, lancé vers la planète Mars en 2003. L'engin qui s'est posé sur Mars le dans la région équatoriale de Terra Meridiani avait pour but d'étudier la géologie de Mars et de déterminer en particulier le rôle joué par l'eau dans l'histoire de la planète. Sa mission qui devait durer 90 jours s'est achevée officiellement en février 2019.
Reversible process (thermodynamics)In thermodynamics, a reversible process is a process, involving a system and its surroundings, whose direction can be reversed by infinitesimal changes in some properties of the surroundings, such as pressure or temperature. Throughout an entire reversible process, the system is in thermodynamic equilibrium, both physical and chemical, and nearly in pressure and temperature equilibrium with its surroundings. This prevents unbalanced forces and acceleration of moving system boundaries, which in turn avoids friction and other dissipation.
Mars Exploration RoverMars Exploration Rover (MER) est une mission double de la NASA lancée en 2003 et composée de deux robots mobiles ayant pour objectif d'étudier la géologie de la planète Mars, en particulier le rôle joué par l'eau dans l'histoire de la planète. Les deux astromobiles ont été lancés au début de l'été 2003 et se sont posés en sur deux sites martiens susceptibles d'avoir conservé des traces de l'action de l'eau dans leur sol.
