Séance de cours

Limites et opérations composées

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Description

Cette séance de cours couvre le concept de limites et d'opérations composées, en se concentrant sur la définition des limites dans le voisinage d'un point. Il traite des définitions équivalentes des limites et de la convergence des séquences. La séance de cours explore également l'application du théorème des deux policiers et de l'inégalité triangulaire inverse. Divers exemples sont fournis pour illustrer les concepts, en soulignant le caractère unique des limites et l'importance des opérations frontalières.

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Concepts associés (32)

Convergence uniforme

La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.

Suite (mathématiques)

vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .

Rayon de convergence

Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple): Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes.

Compact convergence

In mathematics compact convergence (or uniform convergence on compact sets) is a type of convergence that generalizes the idea of uniform convergence. It is associated with the compact-open topology. Let be a topological space and be a metric space. A sequence of functions is said to converge compactly as to some function if, for every compact set , uniformly on as . This means that for all compact , If and with their usual topologies, with , then converges compactly to the constant function with value 0, but not uniformly.

Analyse (mathématiques)

L'analyse (du grec , délier, examiner en détail, résoudre) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes.

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Séances de cours associées (61)

Limite des fonctions : convergence et limite

Explore les limites, la convergence et la limite des fonctions et des séquences.

Convergence d'une séquence définie de façon récursive MOOC: Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II MOOC: Analyse I

Explore la convergence des séquences définies par la récursion et le raisonnement mathématique qui la sous-tend.

Critères de convergence

Couvre les critères de convergence pour les séquences, y compris les opérations sur les limites et les séquences définies par récurrence.

Propriétés globales des fonctions continues

Explore les propriétés globales des fonctions continues, y compris le comportement, les limites et les caractéristiques d'intervalle.

Analyse réelle : Séquences et limites

Couvre les séquences réelles, l'induction, les limites et la convergence dans l'analyse mathématique.

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Concepts associés (32)

Convergence uniforme

Suite (mathématiques)

Rayon de convergence

Compact convergence

Analyse (mathématiques)

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