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Fonctions: différentiels, Taylor Expansions, Integrals

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Description

Cette séance de cours couvre les concepts fondamentaux des fonctions, y compris les limites, la continuité et la différenciation. Il explore l'utilisation de séquences pour définir ces notions et se concentre sur la différenciation, les tangents et les dérivés communs. La séance de cours s'inscrit également dans la règle de l'Hôpital, les extensions de Taylor et les intégrales, fournissant des exemples et des applications dans les modèles physiques. De plus, il discute de la série Taylor, de sa convergence et de l'importance des arguments adimensionnels dans les fonctions. La séance de cours se termine par le concept de primitives et intégrales, préparant les étudiants à des techniques avancées comme le changement de variables et des fonctions multi-variables.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Calcul infinitésimal, Analyse complexe

Concepts associés (32)

Série de Taylor

thumb|Brook Taylor, dont la série porte le nom. En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor au point d'une fonction (réelle ou complexe) indéfiniment dérivable en ce point, appelée aussi le développement en série de Taylor de en , est une série entière approchant la fonction autour de , construite à partir de et de ses dérivées successives en . Elles portent le nom de Brook Taylor, qui les a introduites en 1715.

Fonction hyperbolique

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x + y = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x – y = 1. Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Fonction circulaire réciproque

Les fonctions circulaires réciproques, ou fonctions trigonométriques inverses, sont les fonctions réciproques des fonctions circulaires, pour des intervalles de définition précis. Les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante sont appelées arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante. Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions.

Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Fonction thêta

En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.

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Séances de cours associées (64)

Analyse I Solutions d'examen

Fournit des solutions à un examen d'analyse I, couvrant différents sujets.

Analyse I: Résumé

Couvre les nombres réels, les nombres complexes, les séquences numériques, les séries, les fonctions réelles, les limites de fonctions, les dérivés, les séries Taylor, les intégrales et les taux de croissance des fonctions.

Série Taylor: Dérivés et intégraux

Explore les extensions de séries Taylor pour les dérivés et les intégrales, en mettant l'accent sur plusieurs dérivés et termes d'erreur.

Integrals inappropriés: Convergence et comparaison

Explore les intégrales inappropriées, les critères de convergence, les théorèmes de comparaison et la révolution solide.

Série Taylor: Convergence et applications

Explore la convergence des séries de Taylor et ses applications dans l'approximation des fonctions et la résolution de problèmes mathématiques.

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Concepts associés (32)

Série de Taylor

Fonction hyperbolique

Fonction circulaire réciproque

Fonction elliptique de Jacobi

Fonction thêta

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