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Calcul fonctionnel et transformation de Borel

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Dans cours

MATH-495: Mathematical quantum mechanics

Quantum mechanics is one of the most successful physical theories. This course presents the mathematical formalism (functional analysis and spectral theory) that underlies quantum mechanics. It is simultaneously an introduction to mathematical physics and ...

Description

Cette séance de cours couvre l'exemple du calcul fonctionnel borné lorsque PVM est défini par des projections spectrales de matrices, la définition du calcul fonctionnel mesurable et ses propriétés de base, et la définition de la transformée de Borel d'une mesure. Les diapositives discutent de l'extension du calcul fonctionnel à des opérateurs éventuellement illimités, fournissant des exemples de PVM à partir de matrices et explorant les propriétés de la normalité et de l'homomorphisme *. La séance de cours se penche également sur le concept de la fonction d'Herglotz et son application dans la définition des fonctions sans limites associées aux vecteurs.

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Concepts associés (31)

Borel functional calculus

In functional analysis, a branch of mathematics, the Borel functional calculus is a functional calculus (that is, an assignment of operators from commutative algebras to functions defined on their spectra), which has particularly broad scope. Thus for instance if T is an operator, applying the squaring function s → s2 to T yields the operator T2. Using the functional calculus for larger classes of functions, we can for example define rigorously the "square root" of the (negative) Laplacian operator −Δ or the exponential The 'scope' here means the kind of function of an operator which is allowed.

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R).

Endomorphisme normal

Un endomorphisme normal est un opérateur d'un espace de Hilbert qui commute avec son adjoint. Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et u un endomorphisme de H, d'adjoint u*. On dit que u est normal si Les endomorphismes autoadjoints sont normaux (cas u* = u). Les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux (cas u* = –u). Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux (cas u* = u).

Endomorphisme autoadjoint

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

Calcul fonctionnel

En mathématiques, un calcul fonctionnel est une théorie permettant d'étendre à des opérateurs une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes. Ces théories font désormais partie du domaine de l'analyse fonctionnelle, et sont également liées à la théorie spectrale. Si f est par exemple une fonction réelle de variable réelle, et si M est un opérateur, l'expression f(M) n'a pas de sens à proprement parler, et lui en donner un, outre qu'en général il n'y a aucune façon naturelle d'y parvenir, est un abus de notation.

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Séances de cours associées (47)

Théorème de représentation d'Herglotz

Couvre le théorème de représentation d'Hergloz et la construction de la mesure à valeur de projection.

Domaine et graphique des opérateurs non liés

Couvre les concepts fondamentaux des opérateurs non liés en physique quantique, en se concentrant sur la définition d'un calcul fonctionnel et la décomposition spectrale.

Postulat de mesure quantique

Explore la vérification des propriétés PVM et le théorème spectral pour les opérateurs illimités en mécanique quantique.

Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints encombrés

Explore la décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints sur les espaces Hilbert.

Fondements linéaires de l'algèbre

Explore les fondamentaux de l'algèbre linéaire, y compris les définitions clés, les théorèmes et les applications pratiques en mathématiques et en technologie.

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Endomorphisme normal

Endomorphisme autoadjoint

Calcul fonctionnel

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