Combinaison linéaireEn mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes. Le concept de combinaison linéaire est central en algèbre linéaire et dans des domaines connexes des mathématiques. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.
Sous-espace vectorielEn algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par : la somme de deux vecteurs de F appartient à F ; le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F. Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Vecteur euclidienEn mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, un vecteur euclidien est un objet géométrique possédant une direction, un sens et une norme. On l'utilise par exemple en physique et en ingénierie pour modéliser une force. On parle aussi parfois de vecteur géométrique dans le plan euclidien (deux dimensions) et de vecteur spatial dans l'espace à trois dimensions. Vecteur#HistoireVecteur En physique et en ingénierie, on travaille souvent dans l'espace euclidien.
Row and column vectorsIn linear algebra, a column vector with m elements is an matrix consisting of a single column of m entries, for example, Similarly, a row vector is a matrix for some n, consisting of a single row of n entries, (Throughout this article, boldface is used for both row and column vectors.) The transpose (indicated by T) of any row vector is a column vector, and the transpose of any column vector is a row vector: and The set of all row vectors with n entries in a given field (such as the real numbers) forms an n-dimensional vector space; similarly, the set of all column vectors with m entries forms an m-dimensional vector space.
Application linéaireEn mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension. Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.
Matrice inversibleEn mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A. Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.
Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Multiplication par un scalairevignette|320x320px|Exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ.
Vecteurdroite|cadre|Deux vecteurs et et leur vecteur somme. En mathématiques, un vecteur est un objet généralisant plusieurs notions provenant de la géométrie (couples de points, translations, etc.), de l'algèbre (« solution » d'un système d'équations à plusieurs inconnues), ou de la physique (forces, vitesses, accélérations). Rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire.
Combinaison barycentriqueEn géométrie vectorielle, une combinaison barycentrique ou combinaison affine de vecteurs est une combinaison linéaire dont la somme des coefficients est égale à 1. L’expression s’emploie par défaut pour une somme finie, mais parfois aussi pour la limite d’une série sous réserve de convergence. Les combinaisons barycentriques correspondent ainsi aux barycentres des vecteurs vus comme des points de l’espace affine associé, et l’ensemble de ces combinaisons barycentriques constitue le sous-espace affine engendré par ces points.
Indépendance linéaireEn algèbre linéaire, étant donné une famille de vecteurs d'un même espace vectoriel, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres. Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.
Exponentielle d'une matriceEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie. Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe. Sauf indication contraire, X, Y désignent des matrices n × n complexes (à coefficients complexes).
Conical combinationGiven a finite number of vectors in a real vector space, a conical combination, conical sum, or weighted sum of these vectors is a vector of the form where are non-negative real numbers. The name derives from the fact that a conical sum of vectors defines a cone (possibly in a lower-dimensional subspace). The set of all conical combinations for a given set S is called the conical hull of S and denoted cone(S) or coni(S). That is, By taking k = 0, it follows the zero vector (origin) belongs to all conical hulls (since the summation becomes an empty sum).
Produit matricielLe produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).
Matrix ringIn abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.
Système d'équations linéairesEn mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple : Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique.
Produit scalaireEn mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre tel que ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel. Si et sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E sur le corps R des nombres réels, alors le produit scalaire de u par v est un scalaire (c'est-à-dire un élément de R), noté ∙ , , , ou .
Produit matriciel de Hadamardvignette|Illustration du produit de Hadamard: il s'applique à deux matrices de mêmes dimensions et la matrice en resultant a les mêmes dimensions également. En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur, est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
