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Séance de cours

Max-Flow Problème: Algorithme de Ford-Fulkerson

Dans cours

MATH-261: Discrete optimization

This course is an introduction to linear and discrete optimization. Warning: This is a mathematics course! While much of the course will be algorithmic in nature, you will still need to be able to prove theorems. ...

Description

Cette séance de cours couvre le problème Max-Flow, en se concentrant sur l'algorithme Ford-Fulkerson, qui est utilisé pour résoudre le problème de flux maximum s-t. Il explique comment réduire le problème à un problème de flux réseau standard, le rôle des coupes s-t en tant que certificats et le concept d'augmentation des chemins. La séance de cours se penche également sur les cycles de coûts négatifs, les graphes résiduels et la relation entre les théorèmes max-flow et min-cut.

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Enseignant·e·s (2)

Friedrich Eisenbrand

Friedrich Eisenbrand's main research interests lie in the field of discrete optimization, in particular in algorithms and complexity, integer programming, geometry of numbers, and applied optimization. He is best known for his work on efficient algorithms for integer programming in fixed dimension and the theory of cutting planes, which are an important tool to solve large scale industrial optimization problems in practice. Before joining EPFL in March 2008, Friedrich Eisenbrand was a full professor of mathematics at the University of Paderborn. Friedrich received the Heinz Maier-Leibnitz award of the German Research Foundation (DFG) in 2004 and the Otto Hahn medal of the Max Planck Society in 2001.

Rom Pinchasi

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Mathématiques discrètes: Théorie des graphes

Concepts associés (20)

Théorème flot-max/coupe-min

Le théorème flot-max/coupe-min (ou max flow/min cut en anglais) est un théorème important en optimisation et en théorie des graphes. Il stipule qu'étant donné un graphe de flots, le flot maximum pouvant aller de la source au puits est égal à la capacité minimale devant être retirée du graphe afin d'empêcher qu'aucun flot ne puisse passer de la source au puits. Ce théorème est un cas particulier du théorème de dualité en optimisation linéaire et généralise le théorème de Kőnig, le théorème de Hall (dans les graphes bipartis) et le théorème de Menger (dans les graphes quelconques).

Réseau de flot

En théorie des graphes, un réseau de flot (aussi appelé réseau de transport) est un graphe orienté où chaque arête possède une capacité et peut recevoir un flot (ou flux). Le cumul des flots sur une arête ne peut pas excéder sa capacité. Un graphe orienté est souvent appelé réseau en recherche opérationnelle. Les sommets sont alors appelés des nœuds et les arêtes des arcs. Pour qu'un flot soit valide, il faut que la somme des flots atteignant un nœud soit égale à la somme des flots quittant ce nœud, sauf s'il s'agit d'une source (qui n'a pas de flot entrant), ou d'un puits (qui n'a pas de flot sortant).

Problème de flot maximum

thumb|right|Un exemple de graphe de flot avec un flot maximum. la source est , et le puits . Les nombres indiquent le flot et la capacité. Le problème de flot maximum consiste à trouver, dans un réseau de flot, un flot réalisable depuis une source unique et vers un puits unique qui soit maximum. Quelquefois, on ne s'intéresse qu'à la valeur de ce flot. Le s-t flot maximum (depuis la source s vers le puits t) est égal à la s-t coupe minimum du graphe, comme l'indique le théorème flot-max/coupe-min.

Coupe (théorie des graphes)

En théorie des graphes, une coupe d'un graphe est une partition des sommets en deux sous-ensembles. On appelle aussi coupe l'ensemble des arêtes ayant une extrémité dans chaque sous-ensemble de la partition. Si les arêtes ont un poids, le poids de la coupe est la somme des poids respectifs des arêtes de la coupe. Sinon, c'est le nombre d'arêtes dans la coupe. Cet objet apparaît dans la modélisation de nombreux problèmes concernant les réseaux, où l'on recherche une coupe s-t, c'est-à-dire une coupe séparant deux sommets s et t spécifiés.

Théorème de Menger

En théorie des graphes, le théorème de Menger est à l'origine du théorème flot-max/coupe-min qui le généralise. Il fut prouvé par Karl Menger en 1927. Le théorème de Menger s'énonce ainsi : Le théorème d'Erdős-Pósa est de même nature que celui de Menger, il relie la taille maximale d'une collection de cycles disjoints à la taille minimale d'un coupe-cycles de sommets (feedback vertex set). J. A. Bondy et U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, libre d'accès uniquement pour l'usage personnel Menger de

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