Séance de cours

Courbes elliptiques: points singuliers et droit des groupes

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Dans cours

MATH-489: Number theory II.d - Cryptography

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Description

Cette séance de cours explore le concept de points singuliers sur des courbes elliptiques, expliquant comment calculer des dérivées partielles et identifier des singularités. L'instructeur démontre l'importance du point à l'infini dans l'espace projectif et introduit la loi de groupe pour ajouter des points sur la courbe. La séance de cours explore la définition de la loi de groupe, l'élément d'identité et l'ambiguïté dans la définition de la somme d'un point avec lui-même. La preuve de l'associativité dans la loi de groupe est présentée à travers l'intersection des courbes cubiques. La discussion se termine par une explication détaillée de la façon de définir la somme d'un point avec lui-même sur une courbe elliptique.

Enseignant·e

Dimitar Petkov Jetchev

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie algébrique

Concepts associés (26)

Espace projectif

En mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, l'espace projectif réel de dimension n, P(R),ou RPn, est l'ensemble des droites vectorielles ou des directions de R ; formellement, c'est le quotient de R{0} par la relation d'équivalence de colinéarité. On peut munir ces espaces projectifs de structures additionnelles pour en faire des variétés.

Complex projective space

In mathematics, complex projective space is the projective space with respect to the field of complex numbers. By analogy, whereas the points of a real projective space label the lines through the origin of a real Euclidean space, the points of a complex projective space label the complex lines through the origin of a complex Euclidean space (see below for an intuitive account). Formally, a complex projective space is the space of complex lines through the origin of an (n+1)-dimensional complex vector space.

Quaternionic projective space

In mathematics, quaternionic projective space is an extension of the ideas of real projective space and complex projective space, to the case where coordinates lie in the ring of quaternions Quaternionic projective space of dimension n is usually denoted by and is a closed manifold of (real) dimension 4n. It is a homogeneous space for a Lie group action, in more than one way. The quaternionic projective line is homeomorphic to the 4-sphere. Its direct construction is as a special case of the projective space over a division algebra.

Courbe elliptique

En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.

Variété projective

En géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).

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Géométrie d'incidence et courbes elliptiques

Explore le théorème de Cayley-Bacharach en géométrie d'incidence et introduit des courbes elliptiques avec une loi commutative.

Fonctions dérivées : dérivées partielles et matrice jacobienne

Couvre les fonctions dérivées, les dérivées partielles, la matrice jacobienne et la règle de composition.

Dérivés et fonctions partiels

Explore les dérivées partielles et les fonctions en calcul multivarié, en soulignant leur importance et leurs applications pratiques.

Analyse IV : Convolution et dérivés partiels

Couvre les propriétés des fonctions dans Rn et le calcul des dérivées partielles par induction.

Différenciation : dérivés partiels et hessiennes

Explique les dérivés partiels, la matrice de Hessienne, et leurs propriétés.

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Espace projectif

Complex projective space

Quaternionic projective space

Courbe elliptique

Variété projective

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