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Séance de cours

Produits vectoriels: propriétés et calculs

Description

Cette séance de cours couvre les propriétés et les calculs liés aux produits vectoriels, y compris l'orientation des vecteurs, le produit croisé, le produit mixte et la non-commutativité. Il explique les règles de détermination de l'orientation et fournit des exemples de calcul des produits vectoriels à l'aide de déterminants.

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Concepts associés (32)

Produit vectoriel

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günther Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs.

Produit mixte

En géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope. Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle. Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.

Produit scalaire

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre tel que ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel. Si et sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E sur le corps R des nombres réels, alors le produit scalaire de u par v est un scalaire (c'est-à-dire un élément de R), noté ∙ , , , ou .

Espace préhilbertien

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert.

Non-associative algebra

A non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.

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Séances de cours associées (36)

Vecteurs : Calculs de coordonnées

Couvre les calculs en coordonnées pour les vecteurs, y compris les bases, le produit scalaire et les déterminants, avec des interprétations géométriques et des exemples.

Bases mathématiques: Vecteurs

Couvre les concepts fondamentaux des vecteurs, y compris leurs caractéristiques et leurs méthodes de calcul.

Étude de la mécanique: Calcul vectoriel

Couvre les calculs vectoriaux, y compris les produits scalaires et vectoriaux, avec des idées du Dr Sylvain Bréchet.

Produits scalaires et vecteurs

Introduit les composants vectoriels, les produits scalaires et vectoriels, et leurs propriétés, y compris les vecteurs colinéaires et coplanaires, et la règle de la main droite.

Composantes vectorielles et opérations

Couvre les composantes vectorielles, les projections, les conventions, les opérations et les identités mathématiques.

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