Continuité uniformeEn topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
Continuous functionIn mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .
Fonction localement intégrableEn mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert Ω de R est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de Ω est intégrable pour la mesure de Lebesgue λ. L'espace vectoriel de ces fonctions est noté L(Ω) et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté L(Ω).
Intégrale de LebesgueEn mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur (ou sur ) muni de la mesure de Lebesgue. Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques. Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f.
Module de continuitéEn analyse mathématique, un module de continuité est une fonction ω : [0, ∞] → [0, ∞] utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction f : I → R admet ω pour module de continuité si et seulement si Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité.
Application lipschitzienneEn analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure, en valeur absolue, à une constante appelée constante de Lipschitz. Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.
Absolue continuitéEn mathématiques, et plus précisément en analyse, on définit, pour des fonctions définies sur un intervalle borné, la notion de fonction absolument continue, un peu plus forte que la notion de fonction uniformément continue, et garantissant de bonnes propriétés d'intégration ; on lui associe d'ailleurs la notion de mesure absolument continue. Le premier théorème fondamental de l'analyse a pour conséquence que toute fonction continue sur un intervalle réel est égale à la dérivée de sa fonction intégrale (au sens de Riemann) définie par .
Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
Intégration par partiesEn mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit. Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715.
Espace uniformeEn mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire).
Condition de HölderEn analyse, la continuité höldérienne ou condition de Hölder — nommée d'après le mathématicien allemand Otto Hölder — est une condition suffisante, généralisant celle de Lipschitz, pour qu’une application définie entre deux espaces métriques soit uniformément continue. La définition s’applique donc en particulier pour les fonctions d’une variable réelle. Si (X, d) et (Y, d) sont deux espaces métriques, une fonction f : X → Y est dite a-höldérienne s’il existe une constante C telle que pour tous x, y ∈ X : La continuité höldérienne d’une fonction dépend donc d’un paramètre a ∈ ]0, 1].
Tube à rayons XLes tubes à rayons X sont des dispositifs permettant de produire des rayons X, en général pour trois types d'applications : radiographie et tomographie (, science des matériaux) ; Cristallographie aux rayons X (diffraction de rayons X, voir aussi l'article Diffractomètre) ; analyse chimique élémentaire par spectrométrie de fluorescence des rayons X. Il existe plusieurs types de tubes. Quel que soit le type de tube, la génération des rayons X se fait selon le même principe.
SmoothnessIn mathematical analysis, the smoothness of a function is a property measured by the number of continuous derivatives it has over some domain, called differentiability class. At the very minimum, a function could be considered smooth if it is differentiable everywhere (hence continuous). At the other end, it might also possess derivatives of all orders in its domain, in which case it is said to be infinitely differentiable and referred to as a C-infinity function (or function).
Générateur de rayons XUn générateur de rayons X est un appareil qui est utilisé pour produire des rayons X. Ces appareils sont utilisés dans les domaines de la radiologie humaine, dentaire et industrielle et possèdent des spécifications très variables en fonction de leur application. Un générateur de rayons X est constitué d'un générateur haute tension (entre et plusieurs MV dans les accélérateurs linéaires) qui alimente un tube à rayons X.
Partie bornéeEn mathématiques, la notion de partie bornée (ou, par raccourci, de borné) étend celle d'intervalle borné de réels à d'autres structures, notamment en topologie et en théorie des ordres. Selon les cas, la définition privilégie l'existence de bornes ponctuelles ou la négation de l'éloignement à l'infini. Une fonction bornée est une fonction dont l' est bornée dans l'ensemble d'arrivée. Un opérateur borné est un opérateur linéaire dont les images de bornés sont bornées également.
Opérateur bornéEn mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur. Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble est borné.
DérivabilitéUne fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Fonction bornéedroite|vignette| Schéma d'une fonction bornée (rouge) et d'une fonction non bornée (bleu). Intuitivement, le graphe d'une fonction bornée reste dans une bande horizontale, contrairement au graphe d'une fonction non bornée. En mathématiques, une fonction est dite bornée si est borné. Pour une fonction f définie sur un ensemble X et à valeurs réelles ou complexes, cela revient à dire qu'il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans X, Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( minorant) réel.
Espace précompactEn topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε. La propriété principale est qu'un espace métrique est compact si et seulement s'il est précompact et complet. La notion de précompacité et ses propriétés se généralisent aux espaces uniformes. Soit E un espace métrique. Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée, alors toutes trois le sont et E est dit précompact.
Espace localement compactEn topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.
