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Séance de cours

Comparaison des vecteurs Tangent: Transport parallèle

Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de transport parallèle le long d'une boucle, introduisant un opérateur unique satisfaisant des propriétés spécifiques. Il explore le dérivé covariant induit par une métrique compatible et fournit des cas d'utilisation pour réinterpréter les champs vectoriels le long des courbes.

Enseignant·e

Nicolas Boumal

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (25)

Règle du produit

En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi : En notation de Leibniz, cette formule s'écrit : Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties. Soit la fonction définie par : Pour trouver sa dérivée avec la règle du produit, on pose et . Les fonctions , et sont partout dérivables car polynomiales.

Dérivée covariante

En géométrie différentielle, la dérivée covariante est un outil destiné à définir la dérivée d'un champ de vecteurs sur une variété. Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la connexion, à part la manière dont elles sont introduites. (Cela est faux quand la dérivée covariante n'existe pas en revanche ).

Quotient rule

In calculus, the quotient rule is a method of finding the derivative of a function that is the ratio of two differentiable functions. Let , where both f and g are differentiable and The quotient rule states that the derivative of h(x) is It is provable in many ways by using other derivative rules. Given , let , then using the quotient rule: The quotient rule can be used to find the derivative of as follows: Reciprocal rule The reciprocal rule is a special case of the quotient rule in which the numerator .

Exterior covariant derivative

In the mathematical field of differential geometry, the exterior covariant derivative is an extension of the notion of exterior derivative to the setting of a differentiable principal bundle or vector bundle with a connection. Let G be a Lie group and P → M be a principal G-bundle on a smooth manifold M. Suppose there is a connection on P; this yields a natural direct sum decomposition of each tangent space into the horizontal and vertical subspaces. Let be the projection to the horizontal subspace.

Champ de vecteurs

thumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.

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Séances de cours associées (34)

Différenciation des champs vectoriaux : Définition

Introduit des champs vectoriels différenciés le long de courbes sur des collecteurs avec des connexions et l'opérateur unique satisfaisant des propriétés spécifiques.

Différenciation des champs vectoriels le long des courbes : Exemples et différences finies

Couvre la différenciation des champs vectoriels avec des courbes avec des exemples et des différences finies.

Comparaison des vecteurs Tangent: Transport parallèle

Explore la définition, l'existence et l'unicité du transport parallèle des vecteurs tangents sur les collecteurs.

Comparaison des vecteurs Tangent: Transport parallèle

Explore la comparaison des vecteurs tangents et le transport parallèle sur les collecteurs.

Extensions Taylor : deuxième ordre

Explore les expansions et les rétractations de Taylor sur les collecteurs Riemanniens, en mettant l'accent sur les approximations de second ordre et les dérivés covariants.

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Concepts associés (25)

Règle du produit

Dérivée covariante

Quotient rule

Exterior covariant derivative

Champ de vecteurs

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