Théorie des graphesvignette|Un tracé de graphe. La théorie des graphes est la discipline mathématique et informatique qui étudie les graphes, lesquels sont des modèles abstraits de dessins de réseaux reliant des objets. Ces modèles sont constitués par la donnée de sommets (aussi appelés nœuds ou points, en référence aux polyèdres), et d'arêtes (aussi appelées liens ou lignes) entre ces sommets ; ces arêtes sont parfois non symétriques (les graphes sont alors dits orientés) et sont alors appelées des flèches ou des arcs.
Lexique de la théorie des graphesNOTOC Acyclique graphe ne contenant pas de cycle. Adjacence une liste d'adjacence est une structure de données constituée d'un tableau dont le -ème élément correspond à la liste des voisins du -ème sommet. Adjacence une matrice d'adjacence est une matrice carrée usuellement notée , de dimensions , dont chaque élément est égal au nombre d'arêtes incidentes (ayant pour extrémités) aux sommets d'indices et (pour un graphe simple non pondéré, ). Dans le cas d'un graphe pondéré, chaque élément est égal à la somme du poids des arêtes incidentes.
Connectivity (graph theory)In mathematics and computer science, connectivity is one of the basic concepts of graph theory: it asks for the minimum number of elements (nodes or edges) that need to be removed to separate the remaining nodes into two or more isolated subgraphs. It is closely related to the theory of network flow problems. The connectivity of a graph is an important measure of its resilience as a network. In an undirected graph G, two vertices u and v are called connected if G contains a path from u to v.
Chaîne (théorie des graphes)Dans un graphe non orienté, une chaîne reliant à , notée , est définie par une suite finie d'arêtes consécutives, reliant à . La notion correspondante dans les graphes orientés est celle de chemin. Une chaîne élémentaire est une chaîne ne passant pas deux fois par un même sommet, c'est-à-dire dont tous les sommets sont distincts. Une chaîne simple est une chaîne ne passant pas deux fois par une même arête, c'est-à-dire dont toutes les arêtes sont distinctes. Un cycle est une chaîne simple dont les deux extrémités sont identiques.
Sommet (théorie des graphes)vignette|Dans ce graphe, les sommets 4 et 5 sont voisins alors que les sommets 3 et 5 sont indépendants. Le degré du sommet 4 est égal à 3. Le sommet 6 est une feuille. En théorie des graphes, un sommet, aussi appelé nœud et plus rarement point, est l'unité fondamentale d'un graphe. Deux sommets sont voisins s'ils sont reliés par une arête. Deux sommets sont indépendants s'ils ne sont pas voisins. alt=A small example network with 8 vertices and 10 edges.|vignette|Réseau de huit sommets (dont un isolé) et 10 arêtes.
Graphe (mathématiques discrètes)Dans le domaine des mathématiques discrètes, la théorie des graphes définit le graphe, une structure composée d'objets et de relations entre deux de ces objets. Abstraitement, lesdits objets sont appelés sommets (ou nœuds ou points), et les relations entre eux sont nommées arêtes (ou liens ou lignes). On distingue les graphes non orientés, où les arêtes relient deux sommets de manière symétrique, et les graphes orientés, où les arêtes, alors appelées arcs (ou flèches), relient deux sommets de manière asymétrique.
Théorie algébrique des graphesvignette|Le graphe de Petersen, qui possède 10 sommets et 15 arêtes. Hautement symétrique, il est en particulier distance-transitif. Son groupe d'automorphisme a 120 éléments et est en fait le groupe symétrique S. De diamètre 2, il possède 3 valeurs propres. En mathématiques, la théorie algébrique des graphes utilise des méthodes algébriques pour résoudre des problèmes liés aux graphes, par opposition à des approches géométriques, combinatoires ou algorithmiques.
Distance (théorie des graphes)En théorie des graphes, la distance entre deux nœuds d'un graphe est la longueur d'un plus court chemin entre ces deux nœuds. La longueur d'un chemin est sa longueur en nombre d'arêtes. Pour un graphe pondéré c'est la somme des poids des arêtes empruntées. Pour les graphes non orientés, c'est une distance au sens mathématique, tandis que pour les graphes orientés elle ne vérifie pas la propriété de symétrie. Cette notion permet entre autres de définir le diamètre et le rayon d'un graphe. Catégorie:Concept
Degré (théorie des graphes)thumb|Un graphe non orienté où on a indiqué le degré de chaque sommet sur ce sommet. Dans ce graphe, le degré maximal est et le degré minimal est . En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, le degré (ou valence) d'un sommet d'un graphe est le nombre de liens (arêtes ou arcs) reliant ce sommet, avec les boucles comptées deux fois. Le degré d'un sommet est noté . Dans le cas d'un graphe orienté, on parle aussi du degré entrant d'un sommet , c'est-à-dire le nombre d'arcs dirigés vers le sommet , et du degré sortant de ce sommet , c'est-à-dire le nombre d'arcs sortant de .
Taux d'expansion (théorie des graphes)En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, le taux d'expansion d'un graphe est une mesure de connectivité de ce graphe. Informellement, un grand taux d'expansion veut dire que n'importe quel sous-ensemble de sommets relativement petit possède beaucoup de connexions avec le reste du graphe. Cette mesure est surtout utilisée en raison des propriétés intéressantes des graphes ayant un fort taux d'expansion, parfois appelés graphes expanseurs. On les retrouve notamment en informatique théorique.
Component (graph theory)In graph theory, a component of an undirected graph is a connected subgraph that is not part of any larger connected subgraph. The components of any graph partition its vertices into disjoint sets, and are the induced subgraphs of those sets. A graph that is itself connected has exactly one component, consisting of the whole graph. Components are sometimes called connected components. The number of components in a given graph is an important graph invariant, and is closely related to invariants of matroids, topological spaces, and matrices.
Graphe de CayleyEn mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes. Étant donné un groupe et une partie génératrice de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit : À chaque élément de , on associe un sommet . À chaque élément de , on associe une couleur . Pour tout et , on trace une arête orientée de couleur du sommet vers le sommet .
Graphe de Ramanujanvignette|Le graphe de Pappus, qui selon les valeurs propres de sa matrice de connexion, est aussi un graphe de Ramanujan. Un graphe de Ramanujan, nommé d'après Srinivasa Ramanujan, est un graphe régulier dont le trou spectral (spectral gap) est presque aussi grand que possible. De tels graphes sont d'excellents graphes expanseurs. Autrement dit, il s'agit d'une famille de graphes où chaque sommet a un même degré (régulier) et où les deux valeurs propres les plus élevées ont une différence presque aussi grande que possible.
Théorie de la démonstrationLa théorie de la démonstration, aussi connue sous le nom de théorie de la preuve (de l'anglais proof theory), est une branche de la logique mathématique. Elle a été fondée par David Hilbert au début du . Hilbert a proposé cette nouvelle discipline mathématique lors de son célèbre exposé au congrès international des mathématiciens en 1900 avec pour objectif de démontrer la cohérence des mathématiques.
Generalized eigenvectorIn linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.
Optimisation combinatoireL’optimisation combinatoire, (sous-ensemble à nombre de solutions finies de l'optimisation discrète), est une branche de l'optimisation en mathématiques appliquées et en informatique, également liée à la recherche opérationnelle, l'algorithmique et la théorie de la complexité. Dans sa forme la plus générale, un problème d'optimisation combinatoire (sous-ensemble à nombre de solutions finies de l'optimisation discrète) consiste à trouver dans un ensemble discret un parmi les meilleurs sous-ensembles (ou solutions) réalisables, la notion de meilleure solution étant définie par une fonction objectif.
Assistant de preuveEn informatique (ou en mathématiques assistées par informatique), un assistant de preuve est un logiciel permettant la vérification de preuves mathématiques, soit sur des théorèmes au sens usuel des mathématiques, soit sur des assertions relatives à l'exécution de programmes informatiques. Beaucoup de projets ont été lancés pour formaliser les mathématiques, en 1966, Nicolaas de Bruijn lance le projet Automath, suivi par d'autres projets.
Démonstration constructiveUne première vision d'une démonstration constructive est celle d'une démonstration mathématique qui respecte les contraintes des mathématiques intuitionnistes, c'est-à-dire qui ne fait pas appel à l'infini, ni au principe du tiers exclu. Ainsi, démontrer l'impossibilité de l'inexistence d'un objet ne constitue pas une démonstration constructive de son existence : il faut pour cela en exhiber un et expliquer comment le construire. Si une démonstration est constructive, on doit pouvoir lui associer un algorithme.
Eigenvector centralityIn graph theory, eigenvector centrality (also called eigencentrality or prestige score) is a measure of the influence of a node in a network. Relative scores are assigned to all nodes in the network based on the concept that connections to high-scoring nodes contribute more to the score of the node in question than equal connections to low-scoring nodes. A high eigenvector score means that a node is connected to many nodes who themselves have high scores. Google's PageRank and the Katz centrality are variants of the eigenvector centrality.
CombinatoireEn mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements. La combinatoire est en fait présente dans toute l'antiquité en Inde et en Chine. Donald Knuth, dans le volume 4A « Combinatorial Algorithms » de The Art of Computer Programming parle de la génération de n-uplets ; il dit que la génération de motifs combinatoires «a commencé alors que la civilisation elle-même prenait forme» (« began as civilization itself was taking shape»).
