Machine de TuringEn informatique théorique, une machine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tel un ordinateur. Ce modèle a été imaginé par Alan Turing en 1936, en vue de donner une définition précise au concept d’algorithme ou de « procédure mécanique ». Il est toujours largement utilisé en informatique théorique, en particulier dans les domaines de la complexité algorithmique et de la calculabilité.
DécidabilitéEn logique mathématique, le terme décidabilité recouvre deux concepts liés : la décidabilité logique et la décidabilité algorithmique. L’indécidabilité est la négation de la décidabilité. Dans les deux cas, il s'agit de formaliser l'idée qu'on ne peut pas toujours conclure lorsque l'on se pose une question, même si celle-ci est sous forme logique. Une proposition (on dit aussi énoncé) est dite décidable dans une théorie axiomatique si on peut la démontrer ou démontrer sa négation dans le cadre de cette théorie.
Langage récursifEn mathématiques, en logique et en informatique, un langage récursif est un type de langage formel qui est aussi appelé récursif, décidable, ou Turing-decidable. Il y a plusieurs définitions équivalentes de langage récursif. On peut définir cette notion directement, comme une généralisation de celle d'ensemble récursif (des sous-ensembles d'entiers ou de uples d'entiers), ou passer par des codages dans les entiers, en utilisant la théorie de la calculabilité.
Decider (Turing machine)In computability theory, a decider is a Turing machine that halts for every input. A decider is also called a total Turing machine as it represents a total function. Because it always halts, such a machine is able to decide whether a given string is a member of a formal language. The class of languages which can be decided by such machines is the set of recursive languages. Given an arbitrary Turing machine, determining whether it is a decider is an undecidable problem.
Thèse de ChurchLa thèse de Church est une thèse concernant la définition de la notion de calculabilité. Dans une forme dite « physique », elle affirme que la notion physique de la calculabilité, définie comme étant tout traitement systématique réalisable par un processus physique ou mécanique, peut être exprimée par un ensemble de règles de calcul, défini de plusieurs façons dont on a pu démontrer mathématiquement qu'elles sont équivalentes.
Turing-completEn informatique et en logique, un système formel est dit complet au sens de Turing ou Turing-complet (par calque de l’anglais Turing-complete) s’il possède un pouvoir expressif au moins équivalent à celui des machines de Turing. Dans un tel système, il est donc possible de programmer n'importe quelle machine de Turing. Cette notion est rendue pertinente par la thèse de Church, qui postule l’existence d’une notion naturelle de calculabilité.
Machine de Turing universellevignette|upright=1.5|Une machine de Turing quelconque M réalise un calcul à partir d'une entrée écrite sur son ruban. Une machine de Turing universelle U simule le calcul de M sur l'entrée de M à partir d'une description de M et de l'entrée de M écrits sur le ruban de U. En informatique, plus précisément en informatique théorique, une machine de Turing universelle est une machine de Turing qui peut simuler n'importe quelle machine de Turing sur n'importe quelle entrée.
Recursively enumerable languageIn mathematics, logic and computer science, a formal language is called recursively enumerable (also recognizable, partially decidable, semidecidable, Turing-acceptable or Turing-recognizable) if it is a recursively enumerable subset in the set of all possible words over the alphabet of the language, i.e., if there exists a Turing machine which will enumerate all valid strings of the language. Recursively enumerable languages are known as type-0 languages in the Chomsky hierarchy of formal languages.
Undecidable problemIn computability theory and computational complexity theory, an undecidable problem is a decision problem for which it is proved to be impossible to construct an algorithm that always leads to a correct yes-or-no answer. The halting problem is an example: it can be proven that there is no algorithm that correctly determines whether arbitrary programs eventually halt when run. A decision problem is a question which, for every input in some infinite set of inputs, answers "yes" or "no"..
Fonction récursive primitiveEn théorie de la calculabilité, une fonction récursive primitive est une fonction construite à partir de la fonction nulle, de la fonction successeur, des fonctions projections et des schémas de récursion primitive (ou bornée) et de composition. Ces fonctions constituent un sous-ensemble strict des fonctions récursives. Elles ont été initialement analysées par la mathématicienne Rózsa Péter. On s'intéresse aux fonctions définies sur l'ensemble des entiers naturels, ou sur les ensembles des -uplets d'entiers naturels, et à valeurs dans .
Turing reductionIn computability theory, a Turing reduction from a decision problem to a decision problem is an oracle machine which decides problem given an oracle for (Rogers 1967, Soare 1987). It can be understood as an algorithm that could be used to solve if it had available to it a subroutine for solving . The concept can be analogously applied to function problems. If a Turing reduction from to exists, then every algorithm for can be used to produce an algorithm for , by inserting the algorithm for at each place where the oracle machine computing queries the oracle for .
Machine de Turing non déterministeUne machine de Turing non déterministe est similaire à une machine de Turing habituelle, qui, elle, est déterministe, mais s'en différencie dans le fait qu'étant non déterministe elle peut avoir plusieurs transitions activables, pour un état donné. Alors que, connaissant le caractère lu sur le ruban et l'état courant, une machine de Turing déterministe dispose d'au plus une transition possible, une machine de Turing non déterministe peut en avoir plusieurs.
Alan Turingvignette|Alan Turing vers 1938. Alan Mathison Turing, né le à Londres et mort le à Wilmslow, est un mathématicien et cryptologue britannique, auteur de travaux qui fondent scientifiquement l'informatique. Il est aussi un des pionniers de l'Intelligence artificielle. Pour résoudre le problème fondamental de la décidabilité en arithmétique, il présente en 1936 une expérience de pensée que l'on nommera ensuite machine de Turing et des concepts de programme et de programmation, qui prendront tout leur sens avec la diffusion des ordinateurs, dans la seconde moitié du .
Decidability of first-order theories of the real numbersIn mathematical logic, a first-order language of the real numbers is the set of all well-formed sentences of first-order logic that involve universal and existential quantifiers and logical combinations of equalities and inequalities of expressions over real variables. The corresponding first-order theory is the set of sentences that are actually true of the real numbers. There are several different such theories, with different expressive power, depending on the primitive operations that are allowed to be used in the expression.
Machine de Turing probabilisteEn théorie de la complexité, une machine de Turing probabiliste (ou randomisée) est une machine de Turing qui peut utiliser du hasard. Ce genre de machine permet de définir des classes de complexité intéressantes et de donner un modèle de calcul pour les algorithmes probabilistes comme le test de primalité de Miller-Rabin. Il existe différentes définitions équivalentes des machines de Turing probabilistes. Dans la suite tous les tirages sont indépendants et uniformes.
Problème de décisionEn informatique théorique, un problème de décision est une question mathématique dont la réponse est soit « oui », soit « non ». Les logiciens s'y sont intéressés à cause de l'existence ou de la non-existence d'un algorithme répondant à la question posée. Les problèmes de décision interviennent dans deux domaines de la logique : la théorie de la calculabilité et la théorie de la complexité. Parmi les problèmes de décision citons par exemple le problème de l'arrêt, le problème de correspondance de Post ou le dernier théorème de Fermat.
RécursivitéLa récursivité est une démarche qui fait référence à l'objet même de la démarche à un moment du processus. En d'autres termes, c'est une démarche dont la description mène à la répétition d'une même règle.
Problème de la décisionEn logique mathématique, on appelle problème de la décision ou, sous son nom d'origine en allemand, Entscheidungsproblem, le fait de déterminer de façon mécanique (par un algorithme) si un énoncé est un théorème de la logique égalitaire du premier ordre, c’est-à-dire s'il se dérive dans un système de déduction sans autres axiomes que ceux de l'égalité (exemples : système à la Hilbert, calcul des séquents, déduction naturelle).
Corps réel closEn mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable. Les corps suivants sont réels clos : le corps des réels, le sous-corps des réels algébriques, le corps des réels calculables (au sens de Turing), le corps des , le corps des séries de Puiseux à coefficients réels, tout corps superréel (en particulier tout corps hyperréel).
Algorithme récursifUn algorithme récursif est un algorithme qui résout un problème en calculant des solutions d'instances plus petites du même problème. L'approche récursive est un des concepts de base en informatique. Les premiers langages de programmation qui ont autorisé l'emploi de la récursivité sont LISP et Algol 60. Depuis, tous les langages de programmation généraux réalisent une implémentation de la récursivité. Pour répéter des opérations, typiquement, un algorithme récursif s'appelle lui-même.
