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Séance de cours

Sous-groupe principal de congruence de niveau 2

Dans cours

MATH-511: Number theory II.b - Modular forms

In this course we will introduce core concepts of the theory of modular forms and consider several applications of this theory to combinatorics, harmonic analysis, and geometric optimization. ...

Description

Cette séance de cours se penche sur l'étude du sous-groupe de congruence principal du niveau 2, noté Gamma(2), en se concentrant sur l'établissement des résultats de base sur la structure du groupe et le calcul d'un domaine fondamental de l'action de Gamma(2) sur le demi-plan supérieur. Les diapositives présentent des théorèmes relatifs à la génération libre de Gamma(2) par des éléments spécifiques, le domaine fondamental de son action, et les étapes de preuve impliquant des groupes libres et des considérations d'injectivité. La séance de cours se termine par des affirmations et des preuves liées à l'injectivité de certaines cartographies, soulignant l'importance de comprendre la structure et les propriétés de Gamma(2).

Enseignant·e

Maryna Viazovska

Maryna Viazovska did her bachelor studies at the Kyiv National Taras ShevchenkoUniversity and completed her MSc at the Technical University Kaiserslautern.She obtained her PhD in 2013 in Bonn.She was a postdoctoral researcher at the Institut des Hautes Etudes Scientifiquesand at the Humboldt University of Berlin, and in 2017 was a Minerva DistinguishedVisitor at Princeton University. She joined EPFL in 2017 as Tenure-Track AssistantProfessor and was promoted Full Professor in 2018.

Source officielle

Concepts associés (11)

Injective object

In mathematics, especially in the field of , the concept of injective object is a generalization of the concept of injective module. This concept is important in cohomology, in homotopy theory and in the theory of . The dual notion is that of a projective object. An in a is said to be injective if for every monomorphism and every morphism there exists a morphism extending to , i.e. such that . That is, every morphism factors through every monomorphism . The morphism in the above definition is not required to be uniquely determined by and .

Module injectif

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.

Domaine fondamental

Given a topological space and a group acting on it, the images of a single point under the group action form an orbit of the action. A fundamental domain or fundamental region is a subset of the space which contains exactly one point from each of these orbits. It serves as a geometric realization for the abstract set of representatives of the orbits. There are many ways to choose a fundamental domain. Typically, a fundamental domain is required to be a connected subset with some restrictions on its boundary, for example, smooth or polyhedral.

Congruence subgroup

In mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example would be invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1, in which the off-diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer.

Congruence relation

In abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a group, ring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements. Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation. The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo on the set of integers.

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