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Séance de cours

Différentiels méromorphes et formes modulaires

Dans cours

MATH-511: Number theory II.b - Modular forms

In this course we will introduce core concepts of the theory of modular forms and consider several applications of this theory to combinatorics, harmonic analysis, and geometric optimization. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de différentiels méromorphes sur les surfaces de Riemann, y compris leurs définitions, leurs opérations et leurs propriétés de retrait. Il explore également les formes modulaires, les définissant comme des fonctions méromorphes sur des sous-groupes de congruence, et explore leur relation avec les différentiels méromorphes sur des courbes modulaires.

Enseignant·e

Maryna Viazovska

Maryna Viazovska did her bachelor studies at the Kyiv National Taras ShevchenkoUniversity and completed her MSc at the Technical University Kaiserslautern.She obtained her PhD in 2013 in Bonn.She was a postdoctoral researcher at the Institut des Hautes Etudes Scientifiquesand at the Humboldt University of Berlin, and in 2017 was a Minerva DistinguishedVisitor at Princeton University. She joined EPFL in 2017 as Tenure-Track AssistantProfessor and was promoted Full Professor in 2018.

Source officielle

Concepts associés (32)

Forme modulaire

En mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.

Groupe modulaire

En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, Z), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, Z) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, Z) dans le groupe de Lie On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de Γ(1) par homographies sur le demi-plan de Poincaré H des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2, C) sur la droite projective complexe P(C) = C ∪ {∞} : la matrice agit sur P(C) par la transformation de Möbius qui en envoie z sur .

Courbe modulaire

En théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.

Congruence subgroup

In mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example would be invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1, in which the off-diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer.

Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.

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Séances de cours associées (33)

Formes modulaires: Formule dimensionnelle

Explore les formes modulaires, discutant des cartes de retrait, des différentiels méromorphes et du théorème de Riemann-Roch.

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Couvre des courbes modulaires comme des surfaces compactes de Riemann, expliquant leur topologie, la construction de graphiques holomorphes et leurs propriétés.

Fonctions Méromorphes & Différentiels

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Orthogonalité et caractères

Explique l'orthogonalité et les caractères dans les représentations de groupe, y compris les classes d'équivalence et les dimensions vectorielles de l'espace.

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