Point stationnaire350px|thumb|right|Les points stationnaires de la fonction sont marquées par des ronds rouges. Dans ce cas, ce sont des extrema locaux. Les carrés bleus désignent les points d'inflexion. En analyse réelle, un point stationnaire ou point critique d'une fonction dérivable d'une variable réelle est un point de son graphe où sa dérivée s'annule. Visuellement, cela se traduit par un point où la fonction arrête de croître ou de décroître. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule.
Théorème de Fermat sur les points stationnairesEn analyse réelle, le théorème de Fermat sur les points stationnaires permet, lors de la recherche d'éventuels extrema locaux d'une fonction dérivable, de limiter l'étude aux zéros de sa dérivée et aux bornes de son ensemble de définition. L'énoncé est le suivant : La réciproque est fausse : par exemple, la fonction , en , a une dérivée nulle mais pas d'extremum local. La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1.
ExtremumUn extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré.
Point d'inflexionthumb|Représentation graphique de la fonction x ↦ x montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0, 0). thumb|Point d'inflexion de la fonction arc tangente. En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe. C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe.
Dérivée secondeLa dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération. Si la fonction admet une dérivée seconde, on dit qu'elle est de classe D2 ; si de plus cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.
Point singulier d'une courbeEn géométrie, un point singulier d'une courbe est un point en lequel la courbe ne peut être paramétrée par un plongement lisse. Les définitions plus précises du point singulier d'une courbe dépendent du type de courbe concernée. Les courbes algébriques planes peuvent être définies comme étant un ensemble de points qui satisfont une équation de la forme où est une fonction polynomiale. Supposons est développée sous la forme : et si l'origine (0, 0) est sur la courbe, alors .
Point critique (mathématiques)En analyse à plusieurs variables, un point critique d'une fonction de plusieurs variables, à valeurs numériques, est un point d'annulation de son gradient, c'est-à-dire un point tel que . La valeur prise par la fonction en un point critique s'appelle alors une valeur critique. Les valeurs qui ne sont pas critiques sont appelées valeurs régulières. Les points critiques servent d'intermédiaire pour la recherche des extrémums d'une telle fonction.
Test de la dérivée premièreEn analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction dérivable en étudiant le signe de sa dérivée. Grâce à ce test, on peut déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », permettant ainsi de donner une allure du graphe de la fonction . Soit avec un intervalle ouvert réel (par exemple où et sont des réels). On suppose de plus que dérivable sur .
Logarithmically concave functionIn convex analysis, a non-negative function f : Rn → R+ is logarithmically concave (or log-concave for short) if its domain is a convex set, and if it satisfies the inequality for all x,y ∈ dom f and 0 < θ < 1. If f is strictly positive, this is equivalent to saying that the logarithm of the function, log ∘ f, is concave; that is, for all x,y ∈ dom f and 0 < θ < 1. Examples of log-concave functions are the 0-1 indicator functions of convex sets (which requires the more flexible definition), and the Gaussian function.
Fonction convexevignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.
Ensemble convexeUn objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points et , le segment qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas. On suppose travailler dans un contexte où le segment reliant deux points quelconques et a un sens (par exemple dans un espace affine sur R — en particulier dans un espace affine sur C — ou dans un ).
Logique mathématiqueLa logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du , qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules représentant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles représentant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles ou interprétations dans des structures qui donnent un « sens » mathématique générique aux formules (et parfois même aux démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats permet de leur affecter une valeur de vérité'.
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Multiplicateur de LagrangeEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver les points stationnaires (maximum, minimum...) d'une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables, sous contraintes. On cherche à trouver l'extremum, un minimum ou un maximum, d'une fonction φ de n variables à valeurs dans les nombres réels, ou encore d'un espace euclidien de dimension n, parmi les points respectant une contrainte, de type ψ(x) = 0 où ψ est une fonction du même ensemble de départ que φ.
