Équivalence de catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.
Catégorie de modèlesEn mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.
Catégorie monoïdaleEn mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. Une catégorie monoïdale est une catégorie munie : D'un bifoncteur appelé produit tensoriel. D'un objet I appartenant à appelé « objet unité ».
Category (mathematics)In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
Catégorie des groupesEn mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes. La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante : Ses objets sont les groupes ; Les morphismes sont les morphismes de groupes, munis de la composition usuelle de fonctions, l'identité étant l'application identité. En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même.
Grothendieck categoryIn mathematics, a Grothendieck category is a certain kind of , introduced in Alexander Grothendieck's Tôhoku paper of 1957 in order to develop the machinery of homological algebra for modules and for sheaves in a unified manner. The theory of these categories was further developed in Pierre Gabriel's seminal thesis in 1962. To every algebraic variety one can associate a Grothendieck category , consisting of the quasi-coherent sheaves on .
Tensor-hom adjunctionIn mathematics, the tensor-hom adjunction is that the tensor product and hom-functor form an adjoint pair: This is made more precise below. The order of terms in the phrase "tensor-hom adjunction" reflects their relationship: tensor is the left adjoint, while hom is the right adjoint. Say R and S are (possibly noncommutative) rings, and consider the right module categories (an analogous statement holds for left modules): Fix an -bimodule and define functors and as follows: Then is left adjoint to .
Complexe simplicialthumb|Exemple d'un complexe simplicial.En mathématiques, un complexe simplicial est un objet géométrique déterminé par une donnée combinatoire et permettant de décrire certains espaces topologiques en généralisant la notion de triangulation d'une surface. Un tel objet se présente comme un graphe avec des sommets reliés par des arêtes, sur lesquelles peuvent se rattacher des faces triangulaires, elles-mêmes bordant éventuellement des faces de dimension supérieure, etc.
Carte géographiquethumb|right|Esquisse explicative de la plus ancienne carte géographique connue (époque sumérienne, env. 2500 av. J.-C.) vignette|250px|Carte mondiale datant de 1154 réalisée par Al Idrissi pour Roger II de Sicile (ici retournée à ). thumb|right|upright=1.3|Tabula Rogeriana, dessiné par Muhammad al-Idrisi pour Roger II de Sicile (ici retournée à ). Une carte géographique est une représentation d'un espace géographique. Elle met en valeur l'étendue de cet espace, sa localisation relative par rapport aux espaces voisins, ainsi que la localisation des éléments qu'il contient.
Catégorie additiveLes catégories additives jouent un rôle essentiel en théorie des catégories. De très nombreuses catégories rencontrées en pratique sont en effet additives. Toute catégorie abélienne (telle que la catégorie des groupes abéliens, ou celle des modules à gauche sur un anneau, ou encore celle des faisceaux de modules sur un espace localement annelé) est additive. Néanmoins, dès qu'on munit d'une topologie des objets appartenant à une catégorie abélienne, et qu'on exige des morphismes qu'ils soient des applications continues, on obtient une catégorie qui n'est généralement plus abélienne, mais qui est souvent additive.
Foncteur représentableOn rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple. Soit une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable s'il existe un objet X de tel que F soit isomorphe au foncteur , respectivement au foncteur . Les transformations naturelles de dans F correspondent bijectivement aux éléments de .
Monade (théorie des catégories)Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .
