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Revue de l'algèbre: Anneaux, Champs et Groupes

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Description

Cette séance de cours couvre un examen des structures algébriques telles que les anneaux, les champs et les groupes. Il comprend des sujets comme les domaines intégraux, les idéaux, les principaux domaines idéaux, les anneaux de quotient, les anneaux polynômes et les champs finis. La séance de cours aborde également des concepts comme les éléments irréductibles, les associés, ainsi que la construction et la classification des champs finis. De plus, il explore les groupes symétriques, les sous-groupes alternés, les groupes abeliens et les groupes dièdres. La séance de cours se termine par des discussions sur les congruences, le théorème chinois restant, et la fonction totient Euler.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale, Théorie des représentations

Concepts associés (32)

Principal ideal ring

In mathematics, a principal right (left) ideal ring is a ring R in which every right (left) ideal is of the form xR (Rx) for some element x of R. (The right and left ideals of this form, generated by one element, are called principal ideals.) When this is satisfied for both left and right ideals, such as the case when R is a commutative ring, R can be called a principal ideal ring, or simply principal ring. If only the finitely generated right ideals of R are principal, then R is called a right Bézout ring.

Anneau intègre

Un anneau intègre ou anneau d'intégrité est un anneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne possède aucun diviseur de zéro. Un anneau commutatif unitaire est dit intègre s'il est différent de l'anneau nul (autrement dit : si 1 ≠ 0) et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire : En pratique, travailler dans un anneau intègre permet de résoudre des équations produit-nul.

Théorème des restes chinois

En mathématiques, le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique modulaire traitant de résolution de systèmes de congruences. Ce résultat, initialement établi pour Z/nZ, se généralise en théorie des anneaux. Ce théorème est utilisé en théorie des nombres. vignette|Exemple de Sun Zi : il y a 23 objets. La forme originale du théorème apparait sous forme de problème dans le livre de Sun Zi, le , datant du . Il est repris par le mathématicien chinois Qin Jiushao dans son ouvrage le Shùshū Jiǔzhāng (« Traité mathématique en neuf chapitres ») publié en 1247.

Anneau principal

vignette|Schéma heuristique des structures algébriques. Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique. Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, .

Groupe abélien de type fini

En mathématiques, un groupe abélien de type fini est un groupe abélien qui possède une partie génératrice finie. Autrement dit : c'est un module de type fini sur l'anneau Z des entiers relatifs. Par conséquent, les produits finis, les quotients, mais aussi les sous-groupes des groupes abéliens de type fini sont eux-mêmes de type fini. Un théorème de structure des groupes abéliens de type fini permet d'expliciter la liste complète de ces groupes à isomorphisme près ; il montre notamment que tout groupe abélien de type fini est un produit fini de groupes monogènes.

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Propriétés des domaines euclidien

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Couvre les idéaux principaux, les homomorphismes annulaires, et plus dans les anneaux et les champs commutatifs.

Le théorème des restes chinois et les domaines euclidien

Explore le théorème des restes chinois, les systèmes de congruences et les domaines euclidien en nombres entiers et en anneaux polynomiaux.

Théorème du reste chinois: domaines euclidéens

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