Séance de cours

Théorie des mesures: ensembles et algèbres

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Dans cours

MATH-432: Probability theory

The course is based on Durrett's text book Probability: Theory and Examples.
It takes the measure theory approach to probability theory, wherein expectations are simply abstract integrals. ...

Description

Cette séance de cours couvre les concepts de mesurabilité et d'indépendance des ensembles, des limites et de la construction de sigma-algèbres. Il introduit la construction d'une sigma-algèbre à partir d'une collection de jeux, ainsi que la définition des ensembles de cylindres et de leurs propriétés. La séance de cours aborde également le concept d'une co-algèbre, le caractère unique des mesures et l'extension des mesures. La présentation se termine par la preuve de l'unicité des mesures et de l'extension des mesures d'un système T à une sigma-algèbre.

Enseignant·e

Thomas Mountford

D'origine britannique, né en 1961. Il a reçu la bourse présidentielle des jeunes investisseurs (Presidential Young Investigator Grant) en 1990 et le prix de la Fraternité Sloan (Sloan Fellowship) en 1991. Son travail montre que les valeurs critiques d'une classe large de de systèmes de particules proches sont égales à 1, et que, suite à plusieurs travaux sur la trajectoire du mouvement brownien, incluant une simulation numérique, le nombre d'îlots browniens en 2 dimensions tend vers l'infini quand leurs tailles tendent vers 0. Il reçoit le prix Rosenbaum en 1993 lui ouvrant ainsi les portes du Isaac Newton Institute à Cambridge. Il est également décoré par le prix Rollo Davidson en 1995 et nommé membre honoraire de l'Institute of Mathematical Statistics en 2001. Assistant Profeseur de Mathematique a UCLA 1987- 1991 Associate Professeur de Mathematique a UCLA 1991-1993 Professeur de Mathematique a UCLA 1993-2001 Professeur Departement de mathématiques, EPFL dès 2001

Source officielle

Concepts associés (32)

Tribu (mathématiques)

En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable. Progressivement formalisées pendant le premier tiers du , les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure.

Théorème d'extension de Carathéodory

En théorie de la mesure, le théorème d'extension de Carathéodory est un théorème fondamental, qui est à la base de la construction de la plupart des mesures usuelles. Constitué par généralisation à un cadre abstrait des idées fondant la construction de la mesure de Lebesgue, et exposé sous diverses variantes, il est également mentionné par certains auteurs sous les noms de théorème de Carathéodory-Hahn ou théorème de Hahn-Kolmogorov (certaines sources distinguent un théorème de Carathéodory qui est l'énoncé d'existence, et un théorème de Hahn qui est l'énoncé d'unicité).

Algèbre de Hopf

En mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l'antipode) qui généralise la notion de passage à l'inverse dans un groupe. Ces algèbres ont été introduites à l'origine pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. Les algèbres de Hopf interviennent également en topologie algébrique, en théorie des groupes et dans bien d'autres domaines. Enfin, ce qu'on appelle les groupes quantiques sont souvent des algèbres de Hopf « déformées » et qui ne sont en général ni commutatives, ni cocommutatives.

Mesure extérieure

La notion de mesure extérieure (ou mesure extérieure au sens de Carathéodory) est un concept, dû au mathématicien Constantin Carathéodory, qui généralise dans un cadre axiomatique une construction utilisée par Henri Lebesgue pour définir la mesure de Lebesgue des parties Lebesgue-mesurables de la droite réelle. Soit un ensemble.

Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives E et F. Une fonction f : E → F est dite (E, F)-mesurable si la par f de la tribu F est incluse dans E, c'est-à-dire si : L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie. Si F est l'ensemble des réels et si F est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, E).

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Séances de cours associées (64)

Analyse IV : Ensembles et propriétés mesurables

Couvre le concept de mesure externe et les propriétés des ensembles mesurables.

Analyse IV : Convolution et structure de Hilbert

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Produit cartésien et induction

Présente le produit cartésien et l'induction pour les épreuves utilisant des entiers et des ensembles.

Indépendance et produits

Couvre l'indépendance entre les variables aléatoires et les mesures de produits dans la théorie des probabilités.

Théorie des probabilités : intégration et convergence

Couvre des sujets en théorie des probabilités, en se concentrant sur l'intégrabilité uniforme et les théorèmes de convergence.

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