Topologie faibleEn mathématiques, la topologie faible d'un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E'. On définit également sur E' une topologie dite faible-* au moyen de E. Dans tout cet article, sauf mention contraire, on notera pour et forme linéaire sur . Soient E un espace vectoriel normé (réel ou complexe), ou plus généralement un espace vectoriel topologique et E' son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E.
Compacité séquentielleEn mathématiques, un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente. La notion de compacité séquentielle entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité dénombrable. Pour un espace métrique (notamment pour un espace vectoriel normé), ces quatre notions sont équivalentes. Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ».
Théorème de convergence monotoneEn mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple. Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles et .
Comparaison de topologiesEn mathématiques, l'ensemble de toutes les topologies possibles sur un ensemble donné possède une structure d'ensemble partiellement ordonné. Cette relation d'ordre permet de comparer les différentes topologies. Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensemble X. On dit que τ2 est plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est moins fine que τ2) et on note τ ⊆ τ si l'application identité idX : (X, τ2) → (X, τ1) est continue. Si de plus τ ≠ τ, on dit que τ2 est strictement plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est strictement moins fine que τ2).
Suite de CauchyEn analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique ou plus généralement d'un espace uniforme, dont les termes se rapprochent les uns des autres. Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition de la complétude. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy. Cette notion se généralise, dans un espace uniforme, par celles de filtre de Cauchy et de suite généralisée de Cauchy.
Espace de suites ℓpEn mathématiques, l'espace est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour 1 ≤ p ≤ ∞, une structure d'espace de Banach. Considérons l'espace vectoriel réel R, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels. La norme euclidienne d'un vecteur est donnée par : Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur R, appelée la p-norme, en posant : pour tout vecteur . Pour tout p ≥ 1, R muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé.
Opérateur bornéEn mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur. Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble est borné.
Opérateur compactEn mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, un opérateur compact est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques X et Y envoyant les parties bornées de X sur les parties relativement compactes de Y. Les applications linéaires compactes généralisent les applications linéaires continues de rang fini. La théorie est particulièrement intéressante pour les espaces vectoriels normés ou les espaces de Banach. En particulier, dans un espace de Banach, l'ensemble des opérateurs compacts est fermé pour la topologie forte.
Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
Série convergenteEn mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente. Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet —, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.
Théorème de convergence dominéeEn mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Soit une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes : la suite converge simplement vers une fonction ; il existe une fonction continue telle queAlors L'existence d'une fonction intégrable majorant toutes les fonctions f équivaut à l'intégrabilité de la fonction (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions f).
Topologie compacte-ouverteEn mathématiques, la topologie compacte-ouverte est une topologie définie sur l'ensemble des applications continues entre deux espaces topologiques. C'est l'une des topologies les plus utilisées sur un tel espace fonctionnel, et elle est employée en théorie de l'homotopie et en analyse fonctionnelle. Elle a été introduite par Ralph Fox en 1945. Soient X et Y deux espaces topologiques et C(X,Y) l'espace des applications continues de X dans Y.
