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Nombres réels : Ensembles et opérations

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Description

Cette séance de cours couvre les concepts fondamentaux liés aux nombres réels, y compris les ensembles, les opérations et les propriétés telles que supremum et infimum. Il explore les définitions et les axiomes des nombres réels, ainsi que les concepts de supreme et d'infimum dans le contexte de sous-ensembles de nombres réels.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Logique mathématique: Théorie des ensembles

Concepts associés (32)

Partie dense

En topologie, une partie dense d'un espace topologique est un sous-ensemble permettant d'approcher tous les éléments de l'espace englobant. La notion s'oppose ainsi à celle de partie nulle part dense. La densité d'une partie permet parfois d'étendre la démonstration d'une propriété ou la définition d'une application par continuité. Soient X un espace topologique et A une partie de X.

Borne supérieure et borne inférieure

En mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. Dualement, la borne inférieure (ou l'infimum) d'une partie est le plus grand de ses minorants.

Ensemble ordonné filtrant

En mathématiques, un ensemble ordonné filtrant est un ensemble ordonné (c'est-à-dire dans lequel on peut dire que certains éléments sont plus grands que d'autres) tel que pour toute paire d'éléments, il existe un élément qui est plus grand que chaque élément de la paire. Cela sous-entend en premier lieu que ce troisième élément peut être comparé aux deux premiers, ce qui n'est pas automatique dans un ensemble ordonné (implicitement partiellement ordonné, par opposition à totalement ordonné).

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Essential infimum and essential supremum

In mathematics, the concepts of essential infimum and essential supremum are related to the notions of infimum and supremum, but adapted to measure theory and functional analysis, where one often deals with statements that are not valid for all elements in a set, but rather almost everywhere, that is, except on a set of measure zero. While the exact definition is not immediately straightforward, intuitively the essential supremum of a function is the smallest value that is greater than or equal to the function values everywhere while ignoring what the function does at a set of points of measure zero.

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Propriétés des nombres réels

Explique les propriétés des sous-ensembles de nombres réels, y compris Supremum, Infimum, intervalles, ensembles ouverts et ensembles fermés.

Quiz sur les chapitres 1 à 3 : Solutions aux questions du TF

Couvre les solutions aux questions vraies/fausses sur les sous-ensembles, les limites supérieures, les nombres réels et les propriétés définies.

Les nombres réels : Axiomes et limites

Couvre l'organisation des nombres réels, des axiomes et des limites, y compris infimum et supremum.

Introduction à l'analyse

Couvre les bases de l'analyse, y compris les preuves, les ensembles, les nombres rationnels et réels, et le concept d'infimum.

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Ensemble ordonné filtrant

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