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Séance de cours

Nombres réels : Ensembles et opérations

Description

Cette séance de cours couvre les concepts fondamentaux liés aux nombres réels, y compris les ensembles, les opérations et les propriétés telles que supremum et infimum. Il explore les définitions et les axiomes des nombres réels, ainsi que les concepts de supreme et d'infimum dans le contexte de sous-ensembles de nombres réels.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Logique mathématique: Théorie des ensembles

Concepts associés (32)

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Definable real number

Informally, a definable real number is a real number that can be uniquely specified by its description. The description may be expressed as a construction or as a formula of a formal language. For example, the positive square root of 2, , can be defined as the unique positive solution to the equation , and it can be constructed with a compass and straightedge. Different choices of a formal language or its interpretation give rise to different notions of definability.

Completeness of the real numbers

Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number.

Projectively extended real line

In real analysis, the projectively extended real line (also called the one-point compactification of the real line), is the extension of the set of the real numbers, , by a point denoted ∞. It is thus the set with the standard arithmetic operations extended where possible, and is sometimes denoted by or The added point is called the point at infinity, because it is considered as a neighbour of both ends of the real line. More precisely, the point at infinity is the limit of every sequence of real numbers whose absolute values are increasing and unbounded.

Ensemble maigre

En topologie, dans le contexte des espaces de Baire, un ensemble maigre (on dit aussi de première catégorie) est une partie d'un espace de Baire qui, en un sens technique, peut être considérée comme de taille infime. Un ensemble comaigre est le complémentaire d'un ensemble maigre. Une partie qui n'est pas maigre est dite de deuxième catégorie. Un sous-ensemble d'un espace topologique E est dit maigre lorsqu'il est contenu dans une réunion dénombrable de fermés de E qui sont tous d'intérieur vide.

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Ensembles et opérations: Introduction aux mathématiques

Couvre les bases des ensembles et des opérations en mathématiques, des propriétés des ensembles aux opérations avancées.

Infimum et supreme de sous-ensembles

Couvre les concepts d'infimum et de supreme de sous-ensembles en nombres réels.

Nombres réels : Ensembles et opérations

Couvre les bases des nombres réels et de la théorie des ensembles, y compris les sous-ensembles, les intersections, les syndicats et les opérations des ensembles.

Exemple: Infimum et Supreme MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II

Illustre le calcul de l'infimum et du supreme pour un ensemble d'éléments.

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Completeness of the real numbers

Projectively extended real line

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