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Séance de cours

Théorie des groupes : propriétés et exemples

Dans cours

MATH-110(a): Algèbre linéaire avancée I - espaces vectoriels

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire (pour les futurs mathématiciens) et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet. ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept d'un groupe, défini comme un ensemble avec une loi de composition interne satisfaisant des propriétés spécifiques. Des exemples sont fournis pour illustrer les propriétés des groupes, y compris lélément neutre, les inverses et les critères de sous-groupe.

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Enseignant·e·s (2)

Daniel Kressner

Philippe Michel

Ph. Michel's main research interest lie in the field of analytic number theory and range over a variety of techniques and methods which include: arithmetic geometry, exponential sums, sieve methods, automorphic forms and allied representations, L-functions and more recently ergodic theory. Ph. Michel is a former student of ENS Cachan and obtained his PhD in Universté Paris XI in 1995 under the guidance of E. Fouvry. From 1995 to 1998 he was maître de conférence at Universté Paris XI and full professor at Université Montpellier II until 2008 then when he joined EPFL. Ph. Michel was awarded the Peccot-Vimont prize, has been member of the Institut Universitaire de France and wa invited speaker at the 2006 International Congress of Mathematician.

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Concepts associés (32)

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

Focal subgroup theorem

In abstract algebra, the focal subgroup theorem describes the fusion of elements in a Sylow subgroup of a finite group. The focal subgroup theorem was introduced in and is the "first major application of the transfer" according to . The focal subgroup theorem relates the ideas of transfer and fusion such as described in . Various applications of these ideas include local criteria for p-nilpotence and various non-simplicity criteria focussing on showing that a finite group has a normal subgroup of index p.

Indice d'un sous-groupe

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'indice du sous-groupe H dans G est le nombre de copies distinctes de H que l'on obtient en multipliant à gauche par un élément de G, soit le nombre des xH quand x parcourt G (on peut choisir en fait indifféremment de multiplier à gauche ou à droite). Les classes xH formant une partition, et la multiplication à gauche dans un groupe par un élément donné étant bijective, le produit de l'indice du sous-groupe H dans G par l'ordre de H égale l'ordre de G, ce dont on déduit, pour un groupe fini, le théorème de Lagrange.

Théorie géométrique des groupes

La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.

Réseau (sous-groupe discret)

En théorie des groupes le terme réseau désigne un sous-groupe d'un groupe topologique localement compact vérifiant les conditions suivantes : est discret dans , ce qui est équivalent à la condition qu'il existe un voisinage ouvert de l'identité de tel que ; est de covolume fini dans , c'est-à-dire qu'il existe sur l'espace quotient une mesure Borélienne de masse totale finie et invariante par (agissant par translations à droite). Un réseau est dit uniforme quand le quotient est compact. On dit alors que est un réseau de .

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Séances de cours associées (39)

Groupes commutatifs: Fondements de la cryptographie

Couvre les groupes commutatifs et leur importance en cryptographie.

Théorie de groupe

Couvre les bases de la théorie de groupe, y compris les éléments, l'associativité, l'identité, les inverses, et la fermeture.

Théorie de groupe

Introduit les bases de la théorie de groupe, y compris les opérations, les propriétés, et les groupes de Lie.

Isomorphisme : Ordre des éléments de groupe

Explore l'isomorphisme et l'ordre des éléments de groupe, en mettant l'accent sur les identités et les inverses correspondants.

Symmétries en physique

Explore les symétries en physique à travers la théorie des groupes, en soulignant comment les symétries maintiennent les équations du mouvement inchangées.

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