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Optimisation des fonctions: Maximum et Minimum

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Dans cours

MATH-105(b): Analyse avancée II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables. ...

Description

Cette séance de cours couvre l'optimisation des fonctions, en se concentrant sur la recherche des valeurs maximales et minimales d'une fonction sur un domaine donné avec une limite. L'instructeur revoit les concepts de fonctions de classe C et d'ensembles compacts, en mettant l'accent sur la comparaison avec différentes méthodes. La séance de cours se penche également sur le processus de localisation des points fixes et d'analyse de la différenciation. Différents exemples sont fournis pour illustrer l'application des techniques d'optimisation discutées.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Calcul infinitésimal

Concepts associés (32)

Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré.

Point stationnaire

350px|thumb|right|Les points stationnaires de la fonction sont marquées par des ronds rouges. Dans ce cas, ce sont des extrema locaux. Les carrés bleus désignent les points d'inflexion. En analyse réelle, un point stationnaire ou point critique d'une fonction dérivable d'une variable réelle est un point de son graphe où sa dérivée s'annule. Visuellement, cela se traduit par un point où la fonction arrête de croître ou de décroître. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule.

Théorème de Fermat sur les points stationnaires

En analyse réelle, le théorème de Fermat sur les points stationnaires permet, lors de la recherche d'éventuels extrema locaux d'une fonction dérivable, de limiter l'étude aux zéros de sa dérivée et aux bornes de son ensemble de définition. L'énoncé est le suivant : La réciproque est fausse : par exemple, la fonction , en , a une dérivée nulle mais pas d'extremum local. La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1.

Compacité (mathématiques)

En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.

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Séances de cours associées (64)

Techniques d’optimisation : Extrema local et global

Discute des techniques d'optimisation, en se concentrant sur les extrema locaux et globaux dans les fonctions.

Analyse II: Théorèmes sur les fonctions continues et les extrémités

Couvre les théorèmes sur les fonctions continues et les extrémités dans des ensembles compacts.

Optimisation : Extreme des fonctions

Couvre l'optimisation des fonctions, en se concentrant sur la recherche des valeurs maximales et minimales.

Optimisation : Multiplicateurs Lagrange

Couvre la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour trouver extreme soumis à des contraintes.

Extrema de fonctions dans plusieurs variables

Explique extrema des fonctions dans plusieurs variables, les points stationnaires, les points de selle, et le rôle de la matrice de Hesse.

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Concepts associés (32)

Fonction elliptique de Jacobi

Extremum

Point stationnaire

Théorème de Fermat sur les points stationnaires

Compacité (mathématiques)

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