Séance de cours

Introduction à la théorie des catégories : équivalence des catégories

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Dans cours

MATH-211: Algèbre II - groupes

This course deals with group theory, with particular emphasis on group actions and notions of category theory. ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept d'équivalence des catégories dans le contexte de la théorie des catégories, en expliquant comment définir une relation d'équivalence intéressante sur les catégories en utilisant des transformations naturelles et en fournissant un exemple concret. La séance de cours couvre la définition d'une équivalence de catégories, d'isomorphismes naturels et d'exemples illustrant le concept.

Enseignant·e

Kathryn Hess Bellwald

Kathryn Hess Bellwald received her PhD from MIT in 1989 and held positions at the universities of Stockholm, Nice, and Toronto before moving to the EPFL.Her research focuses on algebraic topology and its applications, primarily in the life sciences, but also in materials science. She has published extensively on topics in pure algebraic topology including homotopy theory, operad theory, and algebraic K-theory. On the applied side, she has elaborated methods based on topological data analysis for high-throughput screening of nanoporous crystalline materials, classification and synthesis of neuron morphologies, and classification of neuronal network dynamics. She has also developed and applied innovative topological approaches to network theory, leading to a powerful, parameter-free mathematical framework relating the activity of a neural network to its underlying structure, both locally and globally.In 2016 she was elected to Swiss Academy of Engineering Sciences and was named a fellow of the American Mathematical Society and a distinguished speaker of the European Mathematical Society in 2017. In 2021 she gave an invited Public Lecture at the European Congress of Mathematicians. She has won several teaching prizes at EPFL, including the Crédit Suisse teaching prize and the Polysphère d’Or.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Théorie des catégories

La théorie des catégories est l'étude des structures mathématiques et de leurs relations. Ce domaine est né du constat de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice.

Relation d'équivalence

En mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .

Foncteur

Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories. Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Foncteur adjoint

L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».

Category (mathematics)

In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.

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Équivalences des catégories

Explore des exemples de transformations naturelles, d'équivalence des catégories et d'adjonction avec des cas spécifiques impliquant Un.

Introduction à la théorie des catégories: Transformations naturelles

Introduit des transformations naturelles dans la théorie des catégories à travers des exemples concrets de la théorie des groupes.

Transformations naturelles : exemples

Introduit des transformations naturelles à travers des exemples, couvrant l'équivalence des catégories et des propriétés du functeur.

Limites et limites : Introduction, Chapitre 1(c)

Introduit des limites et des colimits dans une catégorie, couvrant leurs propriétés et leur unicité.

Transformations naturelles : Définition

Couvre la définition et les propriétés des transformations naturelles entre les functeurs dans la théorie des catégories.

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Théorie des catégories

Relation d'équivalence

Foncteur

Foncteur adjoint

Category (mathematics)

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