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Séance de cours

Modèles de signaux paramétriques: Markov Chains

Dans cours

COM-500: Statistical signal and data processing through applications

Building up on the basic concepts of sampling, filtering and Fourier transforms, we address stochastic modeling, spectral analysis, estimation and prediction, classification, and adaptive filtering, with an application oriented approach and hands-on numeri ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de modèles de signaux paramétriques, en se concentrant sur les processus autorégressifs (AR) et les chaînes de Markov. Il explique la définition, la synthèse et l'analyse des processus AR, ainsi que la structure de corrélation et l'interprétation du filtrage. La séance de cours se penche également sur la génération et l'analyse de corrélation des chaînes de Markov, en mettant l'accent sur l'estimation linéaire, la prédiction et l'estimation de la densité de probabilité.

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Enseignant·e

Andrea Ridolfi

I am a professor of Signal Processing and Communication Technologies at Bern University of Applied Sciences. Since 2004 I hold a lecturer position at EPFL, teaching “Mathematical Principles of Signal Processing” (Doctoral School, 2004 – 2011), “Statistical Signal and Data Processing through Applications” (Master Program, (2004 – ongoing), and Signal Processing and Machine Learning for Digital Humanities (Master, 2017 – 2019, co-taught with Mathieu Salzmann). Previously, I have been working as Project Manager and R&D Engineer at EPFL (2011-2014), coordinating the LCAV activities within the NSF – Nanotera project Opensense, and as Project Manager and R&D Engineer with the biomedical signal processing group at CSEM (2006-2011).

Source officielle

Concepts associés (32)

Processus autorégressif

Un processus autorégressif est un modèle de régression pour séries temporelles dans lequel la série est expliquée par ses valeurs passées plutôt que par d'autres variables. Un processus autorégressif d'ordre p, noté AR(p) est donné par : où sont les paramètres du modèle, est une constante et un bruit blanc. En utilisant l'opérateur des retards, on peut l'écrire : Un processus autorégressif d'ordre 1 s'écrit : On peut formuler le processus AR(1) de manière récursive par rapport aux conditions précédentes : En remontant aux valeurs initiales, on aboutit à : Il est à noter que les sommes vont ici jusqu'à l'infini.

Estimation spectrale

L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP). Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories : Modèles autorégressif (AR) Modèles à moyenne ajustée (MA) Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA). L'approche paramétrique se décompose en trois étapes : Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.

Corrélation (statistiques)

En probabilités et en statistique, la corrélation entre plusieurs variables aléatoires ou statistiques est une notion de liaison qui contredit leur indépendance. Cette corrélation est très souvent réduite à la corrélation linéaire entre variables quantitatives, c’est-à-dire l’ajustement d’une variable par rapport à l’autre par une relation affine obtenue par régression linéaire. Pour cela, on calcule un coefficient de corrélation linéaire, quotient de leur covariance par le produit de leurs écarts types.

Chaîne de Markov

vignette|Exemple élémentaire de chaîne de Markov, à deux états A et E. Les flèches indiquent les probabilités de transition d'un état à un autre. En mathématiques, une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret. Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov : l'information utile pour la prédiction du futur est entièrement contenue dans l'état présent du processus et n'est pas dépendante des états antérieurs (le système n'a pas de « mémoire »).

Régression linéaire

En statistiques, en économétrie et en apprentissage automatique, un modèle de régression linéaire est un modèle de régression qui cherche à établir une relation linéaire entre une variable, dite expliquée, et une ou plusieurs variables, dites explicatives. On parle aussi de modèle linéaire ou de modèle de régression linéaire. Parmi les modèles de régression linéaire, le plus simple est l'ajustement affine. Celui-ci consiste à rechercher la droite permettant d'expliquer le comportement d'une variable statistique y comme étant une fonction affine d'une autre variable statistique x.

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Séances de cours associées (36)

Régression de mélange gaussien : modélisation et prédiction

Couvre les principes de régression de mélange gaussien, la modélisation des densités articulaires et conditionnelles pour les ensembles de données multimodaux.

Séries chronologiques: Estimation paramétrique

Couvre l'estimation paramétrique, la modélisation saisonnière, les méthodes Box-Jenkins, les calculs de variance et les mesures de dépendance dans l'analyse des séries chronologiques.

Optimisation et simulation

Couvre l'algorithme Metropolis-Hastings et les approches basées sur les gradients pour biaiser les recherches vers des valeurs de vraisemblance plus élevées.

Modèles de Markov cachés (HMM): Théorie

Couvre les modèles de Markov cachés (HMM) pour la modélisation de données de séries chronologiques et le décodage à laide de lalgorithme de Viterbi.

Processus intégrés et saisonniers : séries chronologiques

Explore l'estimation paramétrique, les processus intégrés, la modélisation saisonnière et la construction de modèles ARIMA dans l'analyse des séries chronologiques.

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Estimation spectrale

Corrélation (statistiques)

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Régression linéaire

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