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Fonctions de la matrice : Théorie et calcul

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Description

Cette séance de cours explore la théorie et le calcul des fonctions matricielles, en se concentrant sur le calcul f(A) et en particulier e^A. L'instructeur discute les raisons pour lesquelles f(A), différentes méthodes pour définir f(A) y compris la diagonalisation, l'interpolation polynôme et les intégrales de contour, et diverses approches pour calculer f(A) tels que l'algorithme Schur-Parlett, l'approximation polynôme et rationnelle, et les intégrales de contour discrétisées. Une attention particulière est accordée à la matrice exponentielle e^A, qui détaille les méthodes ODE, la technique de mise à l'échelle et de quadrillage, les intégrales de contour et les approximations rationnelles. Des exemples communs de fonctions matricielles comme la matrice exponentielle, la fonction signe, la racine carrée et la puissance sont également couverts, ainsi que des applications dans la programmation semi-définie et les promenades aléatoires.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Exponentielle d'une matrice

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie. Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe. Sauf indication contraire, X, Y désignent des matrices n × n complexes (à coefficients complexes).

Analytic function of a matrix

In mathematics, every analytic function can be used for defining a matrix function that maps square matrices with complex entries to square matrices of the same size. This is used for defining the exponential of a matrix, which is involved in the closed-form solution of systems of linear differential equations. There are several techniques for lifting a real function to a square matrix function such that interesting properties are maintained. All of the following techniques yield the same matrix function, but the domains on which the function is defined may differ.

Interpolation polynomiale

En mathématiques, en analyse numérique, l'interpolation polynomiale est une technique d'interpolation d'un ensemble de données ou d'une fonction par un polynôme. En d'autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la suite d'une expérience), on cherche un polynôme qui passe par tous ces points, p(xi) = yi, et éventuellement vérifie d'autres conditions, de degré si possible le plus bas. Cependant, dans le cas de l'interpolation lagrangienne, par exemple, le choix des points d'interpolation est critique.

Definite matrix

In mathematics, a symmetric matrix with real entries is positive-definite if the real number is positive for every nonzero real column vector where is the transpose of . More generally, a Hermitian matrix (that is, a complex matrix equal to its conjugate transpose) is positive-definite if the real number is positive for every nonzero complex column vector where denotes the conjugate transpose of Positive semi-definite matrices are defined similarly, except that the scalars and are required to be positive or zero (that is, nonnegative).

Interpolation numérique

En analyse numérique (et dans son application algorithmique discrète pour le calcul numérique), l'interpolation est une opération mathématique permettant de remplacer une courbe ou une fonction par une autre courbe (ou fonction) plus simple, mais qui coïncide avec la première en un nombre fini de points (ou de valeurs) donnés au départ. Suivant le type d'interpolation, outre le fait de coïncider en un nombre fini de points ou de valeurs, il peut aussi être demandé à la courbe ou à la fonction construite de vérifier des propriétés supplémentaires.

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Séances de cours associées (64)

Diagonalisation: Vecteurs et valeurs propres

Couvre la diagonalisation des matrices à l'aide de vecteurs propres et de valeurs propres.

Diagonalisation des matrices

Explore la diagonalisation des matrices à travers des valeurs propres et des vecteurs propres, en soulignant l'importance des bases et des sous-espaces.

Algèbre linéaire: Propriétés des matrices

Explore les propriétés des matrices 3x3 avec des coefficients réels et des méthodes de calcul déterminant.

Diagonalisation des transformations linéaires

Couvre la diagonalisation des transformations linéaires en R^3, explorant les propriétés et les exemples.

Diagonalisation des matrices : théorie et exemples

Couvre la théorie et les exemples de matrices de diagonalisation, en se concentrant sur les valeurs propres, les vecteurs propres et lindépendance linéaire.

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Concepts associés (32)

Exponentielle d'une matrice

Analytic function of a matrix

Interpolation polynomiale

Definite matrix

Interpolation numérique

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