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Séance de cours

Méthode des éléments finis : matrice de rigidité et fonctions de base

Dans cours

MATH-451: Numerical approximation of PDEs

The course is about the derivation, theoretical analysis and implementation of the finite element method for the numerical approximation of partial differential equations in one and two space dimensions. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de matrice de rigidité dans la méthode des éléments finis (FEM) et l'importance des fonctions de base. Il explique comment FEM simplifie la résolution d'un système linéaire et la localisation des fonctions de base. La base lagrangienne et les fonctions de bulle sont également discutées.

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Enseignant·e

Annalisa Buffa

Source officielle

Concepts associés (6)

Système linéaire

Un système linéaire (le terme système étant pris au sens de l'automatique, à savoir un système dynamique) est un objet du monde matériel qui peut être décrit par des équations linéaires (équations linéaires différentielles ou aux différences), ou encore qui obéit au principe de superposition : toute combinaison linéaire des variables de ce système est encore une variable de ce système. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires.

Base (algèbre linéaire)

vignette|Le même vecteur peut être représenté dans deux bases différentes (flèches violettes et rouges). En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V. alt=|vignette|upright=2|. La géométrie plane, celle d'Euclide, peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes.

Système d'équations linéaires

En mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple : Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique.

Linear time-invariant system

In system analysis, among other fields of study, a linear time-invariant (LTI) system is a system that produces an output signal from any input signal subject to the constraints of linearity and time-invariance; these terms are briefly defined below. These properties apply (exactly or approximately) to many important physical systems, in which case the response y(t) of the system to an arbitrary input x(t) can be found directly using convolution: y(t) = (x ∗ h)(t) where h(t) is called the system's impulse response and ∗ represents convolution (not to be confused with multiplication).

Base orthonormée

En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

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Séances de cours associées (32)

Indépendance linéaire et base

Explique l'indépendance linéaire, la base et le rang matriciel avec des exemples et des exercices.

ODE d'ordre supérieur linéaire scalaire

Couvre les ODE scalaires linéaires d'ordre supérieur, en se concentrant sur les propriétés des solutions et le principe de superposition.

Contrôlabilité et Observabilité

Couvre la contrôlabilité et l'observabilité dans les systèmes linéaires, en discutant des conditions et des implications nécessaires des matrices unimodulaires.

Vectorisation en Python : calcul efficace avec Numpy

Couvre la vectorisation en Python en utilisant Numpy pour un calcul scientifique efficace, en soulignant les avantages d'éviter les boucles et de démontrer des applications pratiques.

Résolution des systèmes linéaires MOOC: Échauffement pour l'EPFL MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 1)

Couvre la résolution des systèmes linéaires en utilisant la méthode Gauss pour déterminer des solutions uniques, infinies ou inexistantes.

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Concepts associés (6)

Système linéaire

Base (algèbre linéaire)

Système d'équations linéaires

Linear time-invariant system

Base orthonormée

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