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Séance de cours

Manifolds analytiques et espaces de Berkovich

Dans cours

MATH-494: Topics in arithmetic geometry

P-adic numbers are a number theoretic analogue of the real numbers, which interpolate between arithmetics, analysis and geometry. In this course we study their basic properties and give various applications, notably we will prove rationality of the Weil Ze ...

Description

Cette séance de cours couvre la théorie des variétés analytiques, en se concentrant sur les quelques théorèmes de la géométrie différentielle qui ont des analogues dans ce contexte. Il introduit les espaces de Berkovich, qui sont associés à des anneaux sur les algèbres K, et explique le concept de semi-normes multiplicatives. La séance de cours aborde également la ligne affine de Berkovich AB comme un ensemble de semi-normes multiplicatives étendant la norme sur K, ainsi que la topologie sur l'arbre infiniment ramifié.

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Géométrie différentielle

vignette|Exemple d'objets étudiés en géométrie différentielle. Un triangle dans une surface de type selle de cheval (un paraboloïde hyperbolique), ainsi que deux droites parallèles. En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

Géométrie riemannienne

vignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.

Espace vectoriel normé

Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L. Norme (mathématiques) Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes).

Topologie

vignette|Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). thumb|Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.

Norme (mathématiques)

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.

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Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

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Plonge dans la privation de disque en topologie, montrant comment les espaces émergent de ce processus.

Topologie algébrique et géométrie différentielle

Explore la topologie algébrique et la géométrie différentielle dans la compréhension de la dynamique des robots et du comportement global.

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann et le concept de triangulation en utilisant un nombre fini de triangles.

Seifert van Kampen: preuve et identification

Couvre la preuve et l'identification des isomorphismes dans le théorème de Seifert van Kampen.

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