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Les Cinq Lemma

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Description

Cette séance de cours couvre les Cinq Lemma, un résultat fondamental dans la théorie des séquences exactes, indiquant que si certaines conditions sont remplies dans un diagramme commutatif, alors un isomorphisme existe. La preuve consiste à montrer la bijectivité et la surjectivité de certaines cartes. La séance de cours traite également de l'injectivité et se termine par un aperçu des séquences exactes, évoquant les sujets à venir de la torsion et de la divisibilité.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (30)

Isomorphisme

En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ». Par exemple, sur l'intervalle des valeurs ... peuvent être remplacées par leur logarithme ..., et les relations d'ordre entre elles seront conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs et en prenant les exponentielles de et .

Diagramme commutatif

En mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée. Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}.

Injective object

In mathematics, especially in the field of , the concept of injective object is a generalization of the concept of injective module. This concept is important in cohomology, in homotopy theory and in the theory of . The dual notion is that of a projective object. An in a is said to be injective if for every monomorphism and every morphism there exists a morphism extending to , i.e. such that . That is, every morphism factors through every monomorphism . The morphism in the above definition is not required to be uniquely determined by and .

Module injectif

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.

Torsion (algèbre)

En algèbre, dans un groupe, un élément est dit de torsion s'il est d'ordre fini, c'est-à-dire si l'une de ses puissances non nulle est l'élément neutre. La torsion d'un groupe est l'ensemble de ses éléments de torsion. Un groupe est dit sans torsion si sa torsion ne contient que le neutre, c'est-à-dire si tout élément différent du neutre est d'ordre infini. Si le groupe est abélien, sa torsion est un sous-groupe. Par exemple, le sous-groupe de torsion du groupe abélien est .

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Séances de cours associées (64)

Le lemme des cinq : les groupes abéliens

Présente le Lemme des Cinq, un résultat fondamental de la théorie des groupes.

Cohomologie de groupe

Couvre le concept de cohomologie de groupe, se concentrant sur les complexes de chaîne, les complexes de cochain, les produits de tasse et les anneaux de groupe.

Fonctions de cartographie et surjections

Explore les fonctions cartographiques, les surjections, les fonctions injectives et surjectives et les fonctions bijectives.

Séquence de Mayer-Vietoris

Explore la séquence de Mayer-Vietoris, les homomorphismes exacts, les sphères incorporées et les espaces connectés au chemin.

Anneaux et résidus locaux

Couvre la preuve du théorème 4.2 sur les multiplicités et la structure spéciale des anneaux locaux en un point simple d'un plan.

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