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Séance de cours

Structure de l'anneau gradué sur la cohomologie

Dans cours

MATH-506: Topology IV.a - Cohomology rings

Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative algebra. We study an algebraic version, namely group coho ...

Description

Cette séance de cours traite de la structure des anneaux gradués sur la cohomologie, en mettant l'accent sur l'associativité et la commutativité du produit de la tasse. L'instructeur explique la preuve de la propriété associative et de la communauté graduée, mettant l'accent sur l'utilisation de la résolution ZG libre. La séance de cours se termine par l'application de ces concepts dans le contexte de H*(Q8; Z), montrant une classe et un isomorphisme pour les morphismes isomorphiques.

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Graded-commutative ring

In algebra, a graded-commutative ring (also called a skew-commutative ring) is a graded ring that is commutative in the graded sense; that is, homogeneous elements x, y satisfy where |x | and |y | denote the degrees of x and y. A commutative (non-graded) ring, with trivial grading, is a basic example. An exterior algebra is an example of a graded-commutative ring that is not commutative in the non-graded sense. A cup product on cohomology satisfies the skew-commutative relation; hence, a cohomology ring is graded-commutative.

Algèbre graduée

vignette|Un organigramme de diverses structures algébriques et leurs relations les unes avec les autres. En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation. Soit A une algèbre sur un corps (ou plus généralement sur un anneau) K. Une graduation sur A est la donnée d’une famille de sous-espaces vectoriels de A vérifiant : c'est-à-dire que . L’algèbre A est alors dite graduée (parfois N-graduée, comme cas particulier de la notion d'algèbre M-graduée pour un monoïde M).

Cohomology

In mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.

Anneau commutatif

Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.

Algèbre associative

vignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .

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