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Séance de cours

Algèbre homologique: bases et applications

Dans cours

MATH-311: Algebra IV - rings and modules

Ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra. ...

Description

Cette séance de cours présente les concepts fondamentaux de l'algèbre homologique, qui sert d'outil crucial dans divers domaines de recherche liés à l'algèbre tels que la topologie, la géométrie algébrique et la théorie des groupes. La séance de cours couvre la définition et la signification des modules Ext, qui sont essentiels pour comprendre différentes théories (co-)homologiques utilisées dans les mathématiques modernes. À travers des exemples et des explications, les étudiants comprendront l'importance de l'algèbre homologique dans la définition et l'utilisation de diverses théories (co-)homologiques dans différents domaines mathématiques.

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Regarder sur Mediaspace

Enseignant·e·s (2)

Domenico Valloni

Zsolt Patakfalvi

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Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (32)

Cohomology

In mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.

Foncteur Ext

Les foncteurs Ext sont les foncteurs dérivés du foncteur Hom. Ils sont d'abord apparus en algèbre homologique, où ils jouent un rôle central par exemple dans le théorème des coefficients universels, mais interviennent aujourd'hui dans de nombreuses branches différentes des mathématiques. Ce foncteur apparaît originellement dans l'étude des extensions de modules, d'où il tire son nom. Soit A une catégorie abélienne. D'après le théorème de plongement de Mitchell, on peut toujours imaginer travailler avec une catégorie de modules.

Homological algebra

Homological algebra is the branch of mathematics that studies homology in a general algebraic setting. It is a relatively young discipline, whose origins can be traced to investigations in combinatorial topology (a precursor to algebraic topology) and abstract algebra (theory of modules and syzygies) at the end of the 19th century, chiefly by Henri Poincaré and David Hilbert. Homological algebra is the study of homological functors and the intricate algebraic structures that they entail; its development was closely intertwined with the emergence of .

Homologie des groupes

En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note Z[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs Z. Soient alors M un Z[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par : De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par : où est une résolution injective de M.

Cohomologie de De Rham

En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif.

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Séances de cours associées (36)

Cohomologie de groupe

Couvre le concept de cohomologie de groupe, se concentrant sur les complexes de chaîne, les complexes de cochain, les produits de tasse et les anneaux de groupe.

Modèles acycliques: Produit de coupe et Cohomologie

Couvre le produit de la tasse sur la cohomologie, les modèles acycliques et le théorème universel des coefficients.

Théorème algébrique de la Kunneth

Couvre le théorème algébrique de la Kunneth, expliquant les complexes de chaîne et les calculs de cohomologie.

Cohomologie : produit croisé

Explore la cohomologie et le produit croisé, démontrant son application dans des actions de groupe comme la conjugaison.

Cohomologie Real Projective Space

Couvre la cohomologie dans les espaces projectifs réels, en se concentrant sur les propriétés associatives et les structures algébriques.

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Concepts associés (32)

Cohomology

Foncteur Ext

Homological algebra

Homologie des groupes

Cohomologie de De Rham

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