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Groupes d'Abeliens Finites

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Description

Cette séance de cours couvre le théorème de Cauchy, la classification des groupes abeliens finis simples, les propriétés directes du produit, et la classification des groupes abeliens finis basés sur des diviseurs élémentaires et des facteurs invariants. Il traite également du théorème Orbit-Stabilisateur, des sous-groupes normaux, des classes de conjugaison et des exemples de groupes abeliens finis. La séance de cours se termine par la classification de tous les groupes abeliens finis possibles et les propriétés des groupes de produits directs.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Théorie des représentations, Algèbre générale

Concepts associés (32)

Sous-groupe normal

En théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.

Théorème de Cauchy (groupes)

NOTOC En mathématiques, le théorème de Cauchy, nommé en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy, est le suivant : La démonstration de McKay est détaillée sur Wikiversité. On fait agir le groupe par permutation circulaire sur l'ensemble où e désigne l'élément neutre du groupe G. L'équation aux classes affirme que # E est la somme des cardinaux des orbites pour l'action de . Or car étant donné quelconque est totalement déterminé (et vaut Ainsi #E est un multiple de p.

Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques. Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante : Si et sont associatives, alors la loi est associative.

Produit direct (groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes. Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante : le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans .

Sous-groupe

Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.

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Théorème de Cauchy (groupes)

Produit direct

Produit direct (groupes)

Sous-groupe

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