Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Demi-groupe de transformationsEn algèbre, un demi-groupe de transformations est un ensemble de fonctions d'un ensemble X dans lui-même qui est fermé pour l'opération de composition. S'il contient l'application identité, c'est un monoïde de transformations. C'est l'analogue, pour les demi-groupes, d'un groupe de permutations. Un analogue du théorème de Cayley vaut pour les demi-groupes : tout demi-groupe est isomorphe à un demi-groupe de transformations sur un ensemble. Un demi-groupe de transformations est un couple , où est un ensemble, et est un demi-groupe de transformations sur .
Topologie induiteEn mathématiques, la topologie induite est une topologie définie sur toute partie Y d'un espace topologique X : c'est la trace sur Y de la topologie sur X. Autrement dit, l'ensemble des ouverts de Y (muni de la topologie induite) est : {O⋂Y | O ouvert de X}. Ou encore : les voisinages dans Y d'un point sont les traces sur Y de ses voisinages dans X. On dit alors que Y est un sous-espace de X. La topologie induite est souvent sous-entendue dans les énoncés de topologie : par exemple, lorsque l'on a un espace topologique X donné, une partie Y de X sera dite compacte si elle est compacte pour la topologie induite par X sur Y.
Catégorie des petites catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des petites catégories, notée Cat, est la catégorie dont les objets sont les petites catégories et dont les morphismes sont les foncteurs entre petites catégories. Cat peut en fait être considérée comme une 2-catégorie, les transformations naturelles servant de 2-morphismes. L'objet initial de Cat est la catégorie vide 0, qui est la catégorie sans objets et sans morphismes. L'objet final est la catégorie finale ou catégorie triviale 1 ayant un seul objet et un seul morphisme.
AssociateurDans une algèbre ou un anneau non nécessairement associative, l'associateur de trois éléments x, y et z, noté A(x,y,z) est défini par . Il est parfois noté aussi s'il n'y a pas de risque de confusion avec un produit mixte. L'associativité est exprimée par la nullité de la fonction A sur tous les triplets. L'alternativité est exprimée par l'égalité pour tout couple d'éléments (x,y). L'associateur est un opérateur trilinéaire. L'associateur permet de définir le noyau de la structure, à savoir l'ensemble des x tels que pour y et z quelconques, on a .
Composition de fonctionsLa composition de fonctions (ou composition d’applications) est, en mathématiques, un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée). Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions et . On définit la composée de f par g, notée , par On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.
Équivalence de catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.
Morphisme zéroDans la théorie des catégories, une branche des mathématiques, un morphisme zéro est un type spécial de morphisme présentant certaines propriétés comme celles des morphismes vers et depuis un objet zéro . Supposons que C soit une catégorie, et f : X → Y un morphisme de la catégorie C. Le morphisme f est appelé morphisme constant (ou encore morphisme zéro à gauche) si pour tout objet W de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie , on a fg = fh.
AssociativitéEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne ou loi interne sur un ensemble E est dite associative si pour tous x, y et z dans E : En notant , l'associativité se traduit par le diagramme commutatif suivant : Parmi les lois associatives, on peut citer les lois d'addition et de multiplication des nombres réels, des nombres complexes et des matrices carrées, l'addition des vecteurs, et l'intersection, la réunion d'ensembles.
Objet initial et objet finalEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. Donnons-nous une catégorie . Un objet de est dit initial si pour tout objet de , il existe une et une seule flèche de vers . De même, un objet est dit final (ou terminal) si pour tout objet , il existe une et une seule flèche de vers . En particulier, la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité.
Matrice d'une application linéaireEn algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Soient : E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et m ; B = (e, ... , e) une base de E, C une base de F ; φ une application de E dans F.
