Composition de fonctions

La composition de fonctions (ou composition d’applications) est, en mathématiques, un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée). Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions et . On définit la composée de f par g, notée , par On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat. On obtient ainsi une nouvelle fonction . La notation se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois pour . Cette définition peut être visualisée par un diagramme commutatif. Soient les deux fonctions : Ici, l'ensemble d'arrivée de f est . Or l'ensemble de départ de g est (il n'existe pas de nombre réel dont le carré soit strictement négatif). Stricto sensu, la fonction n'a donc pas de sens ici et seule en a un, où f1 est la fonction suivante, obtenue par restriction-corestriction de f : Ici, on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées. La composition de fonctions n'est généralement pas commutative : La composition de fonctions est associative : La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque ) : Si la fonction f est continue en x0 et la fonction g est continue en f(x0) alors est continue en x0. Composition de deux fonctions f et g strictement monotones (le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes) : si f et g ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante ; si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante. Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :Voir l'article « Théorème de dérivation des fonctions composées ». Réciproque d'une composée : On conserve les notations ci-dessus. Si alors peut être composée avec elle-même et la composée est notée .