Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
Lie group–Lie algebra correspondenceIn mathematics, Lie group–Lie algebra correspondence allows one to correspond a Lie group to a Lie algebra or vice versa, and study the conditions for such a relationship. Lie groups that are isomorphic to each other have Lie algebras that are isomorphic to each other, but the converse is not necessarily true. One obvious counterexample is and (see real coordinate space and the circle group respectively) which are non-isomorphic to each other as Lie groups but their Lie algebras are isomorphic to each other.
Groupe de LieEn mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est aussi une variété différentielle. D'une part, un groupe est une structure algébrique munie d'une opération binaire, typiquement une multiplication et son inverse la division, ou alors une addition et son inverse la soustraction. D'autre part, une variété est un espace qui localement ressemble à un espace euclidien. Ici, on s'intéresse à un ensemble qui est à la fois un groupe et une variété : nous pouvons multiplier les éléments entre eux, calculer l'inverse d'un élément.
3D rotation groupIn mechanics and geometry, the 3D rotation group, often denoted SO(3), is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a transformation that preserves the origin, Euclidean distance (so it is an isometry), and orientation (i.e., handedness of space). Composing two rotations results in another rotation, every rotation has a unique inverse rotation, and the identity map satisfies the definition of a rotation.
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Représentation d'algèbre de LieEn mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Semisimple Lie algebraIn mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
Table of Lie groupsThis article gives a table of some common Lie groups and their associated Lie algebras. The following are noted: the topological properties of the group (dimension; connectedness; compactness; the nature of the fundamental group; and whether or not they are simply connected) as well as on their algebraic properties (abelian; simple; semisimple). For more examples of Lie groups and other related topics see the list of simple Lie groups; the Bianchi classification of groups of up to three dimensions; see classification of low-dimensional real Lie algebras for up to four dimensions; and the list of Lie group topics.
Affine Lie algebraIn mathematics, an affine Lie algebra is an infinite-dimensional Lie algebra that is constructed in a canonical fashion out of a finite-dimensional simple Lie algebra. Given an affine Lie algebra, one can also form the associated affine Kac-Moody algebra, as described below. From a purely mathematical point of view, affine Lie algebras are interesting because their representation theory, like representation theory of finite-dimensional semisimple Lie algebras, is much better understood than that of general Kac–Moody algebras.
Groupe de type de LieEn mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire réductif G à valeur dans le corps commutatif k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types de Lie finis forment l'essentiel des groupes finis simples. Des cas particuliers incluent les groupes classiques, les groupes de Chevalley, les groupes de Steinberg et les groupes de Suzuki-Ree.
Rotation (physique)En cinématique, l'étude des corps en rotation est une branche fondamentale de la physique du solide et particulièrement de la dynamique, y compris de la dynamique des fluides, qui complète celle du mouvement de translation. L'analyse du mouvement de rotation se prolonge y compris aux échelles atomiques, avec la dynamique moléculaire et l'étude de la fonction d'onde en mécanique quantique.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Représentation irréductibleEn mathématiques et plus précisément en théorie des représentations, une représentation irréductible est une représentation non nulle qui n'admet qu'elle-même et la représentation nulle comme sous-représentations. Le présent article traite des représentations d'un groupe. Le théorème de Maschke démontre que dans de nombreux cas, une représentation est somme directe de représentations irréductibles. Dans le cas des groupes finis, les informations liés aux représentations irréductibles sont encodées dans la table de caractères du groupe.
Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Groupe résolubleEn mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
Automorphism groupIn mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.
Rotation en quatre dimensionsEn mathématiques, les rotations en quatre dimensions (souvent appelées simplement rotations 4D) sont des transformations de l'espace euclidien , généralisant la notion de rotation ordinaire dans l'espace usuel ; on les définit comme des isométries directes ayant un point fixe (qu'on peut prendre comme origine, identifiant les rotations aux rotations vectorielles) ; le groupe de ces rotations est noté SO(4) : il est en effet isomorphe au groupe spécial orthogonal d'ordre 4.
Algebra representationIn abstract algebra, a representation of an associative algebra is a module for that algebra. Here an associative algebra is a (not necessarily unital) ring. If the algebra is not unital, it may be made so in a standard way (see the adjoint functors page); there is no essential difference between modules for the resulting unital ring, in which the identity acts by the identity mapping, and representations of the algebra.
Rotation vectorielleSoit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. Matrice de rotation Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est : Autrement dit, un vecteur de composantes a pour image le vecteur de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle : c'est-à-dire que l'on a : et Si par exemple et , désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.
